1.2.5. Vermeidung von „verdeckten” Kovarianzen

Im Folgenden wird nun angenommen, dass der analytische Ausdruck für die Ergebnisgröße \(y\) mehrere Ausdrücke enthält, z. B. \({\ a}_{1},\ a_{2},a_{3}\), die jeweils Funktionen von Eingangsgrößen \(x_{i}\) sind. Oft werden zunächst die Unsicherheiten \({u(a}_{1}),\ \ u(a_{2}),{\ u(a}_{3})\) berechnet, aus denen dann \(u(y\left( {\ a}_{1},\ a_{2},a_{3} \right))\) abgeleitet wird. Befinden sich jedoch einige der Eingangsgrößen \(x_{i}\) in mehr als einem der Ausdrücke \({\ a}_{1},\ a_{2},a_{3}\), so existieren „verdeckte” oder „übersehene” Kovarianzen zwischen einigen der \({\ a}_{1},\ a_{2},a_{3}\), die nachträglich zu berücksichtigen wären.

Dieses Problem tritt bei den Berechnungen in UncertRadio dadurch nicht auf, dass sich die partiellen Ableitungen in dessen Unsicherheitsfortpflanzung immer auf die Ergebnisgröße beziehen. Warum das funktioniert, wird im Folgenden gezeigt.

Der Ansatz für die Unsicherheitsfortpflanzung mit partiellen Ableitungen, die auf die Ergebnisgröße \(y = y({\ a}_{1}(\mathbf{x}),\ a_{2}(\mathbf{x}),a_{3}(\mathbf{x}))\) bezogen werden, wird mit dem Vektor \(\mathbf{x}\) der Eingangsvariablen wie folgt formuliert:

Zunächst wird das Quadrat der Summe ausgeführt:

\[u^{2}(y) = \sum_{i = 1}^{ni}{\left( \frac{\partial y}{\partial x_{i}} \right)^{2}u^{2}\left( x_{i} \right)}\]

\[u^{2}(y) = \sum_{i = 1}^{ni}{\left( \sum_{j = 1}^{3}{\frac{\partial y}{\partial a_{j}}\frac{\partial a_{j}}{\partial x_{i}}} \right)^{2}u^{2}\left( x_{i} \right)}\]

\[\sum_{i = 1}^{ni}{\left( \frac{\partial y}{\partial a_{1}}\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{i}} + \frac{\partial y}{\partial a_{2}}\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{i}} + \frac{\partial y}{\partial a_{3}}\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{i}} \right)^{2}u^{2}\left( x_{i} \right)}\]

Nun wird die Summation über \(i\) für jeden der sechs Terme ausgeführt, gleichzeitig werden die partiellen Ableitungen von \(y\) nach \(a_{j}\) jeweils vor die Summen gezogen:

\begin{eqnarray} u^{2}(y) = \sum_{i = 1}^{n_i} & & \left( \frac{\partial y}{\partial a_{1}}\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{i}} \right)^{2}u^{2}\left( x_{i} \right) + \\ && \left( \frac{\partial y}{\partial a_{2}}\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{i}} \right)^{2}u^{2}\left( x_{i} \right) + \\ && \left( \frac{\partial y}{\partial a_{3}}\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{i}} \right)^{2}u^{2}\left( x_{i} \right) + \\ && 2\left( \frac{\partial y}{\partial a_{1}}\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{i}} \right)\left( \frac{\partial y}{\partial a_{2}}\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{i}} \right)u^{2}\left( x_{i} \right) + \\ && 2\left( \frac{\partial y}{\partial a_{1}}\frac{\partial a_{1}}{\partial x_{i}} \right)\left( \frac{\partial y}{\partial a_{3}}\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{i}} \right)u^{2}\left( x_{i} \right) + \\ && 2\left( \frac{\partial y}{\partial a_{2}}\frac{\partial a_{2}}{\partial x_{i}} \right)\left( \frac{\partial y}{\partial a_{3}}\frac{\partial a_{3}}{\partial x_{i}} \right)u^{2}\left( x_{i} \right) \end{eqnarray}

Jede einzelne Summe über \(i\) stellt entweder eine Varianz oder eine Kovarianz der drei Ausdrücke \({\ a}_{1},\ a_{2},a_{3}\) dar:

\[\begin{split}u^{2}(y) = &\left( \frac{\partial y}{\partial a_{1}} \right)^{2}u^{2}\left( a_{1} \right) + \left( \frac{\partial y}{\partial a_{2}} \right)^{2}u^{2}\left( a_{2} \right) + \left( \frac{\partial y}{\partial a_{3}} \right)^{2}u^{2}\left( a_{3} \right) + \\ &2\frac{\partial y}{\partial a_{1}}\frac{\partial y}{\partial a_{2}} cov(a_{1},a_{2}) + 2\frac{\partial y}{\partial a_{1}}\frac{\partial y}{\partial a_{3}}cov(a_{1},a_{3}) + \\ & 2\frac{\partial y}{\partial a_{2}}\frac{\partial y}{\partial a_{3}}cov(a_{2},a_{3})\end{split}\]

Üblicherweise beinhaltet bei einer Zerlegung von \(y\) in Ausdrücke oder Funktionen \(a_{j}\) eine per Hand ausgeführte Unsicherheitsfortpflanzung nur die ersten drei Terme in Gl. (6), da Kovarianzen zwischen den \(a_{j}\) meistens nicht vermutet werden; darauf geht die Bezeichnung „verdeckte“ Kovarianzen zurück.

Der mit Gl. (6) entstandene Ausdruck ist genau derjenige, den man erwartet, wenn die verdeckten Kovarianzen zwischen den \(a_{j}\) mitberücksichtigt werden. Dieses Ergebnis demonstriert, dass die Unsicherheitsfortpflanzung in UncertRadio die verdeckten Kovarianzen berücksichtigt, quasi automatisch, da es nach Gl. (1) mit partiellen Ableitungen der Ergebnisgröße selbst arbeitet.