2.4.3. TAB “Values, Uncertainties”¶

Der wesentliche Teil dieses TABs besteht aus einer 10-spaltigen Tabelle für die Aufnahme der Messwerte und Unsicherheiten der einzelnen unabhängigen Messgrößen (Eingangsgrößen). Sie besteht aus den Spalten:

1:	Symbol	text field	formula symbol
2:	Type	text field	Parametertyp: a für abhängig, u für unabhängig, m für eine Mittelwertgröße, p für eine zu berechnende Größe ohne Unsicherheit
3:	Unit	text field	Eingabe der Einheit
4:	Value	Zahlenfeld	Wert der Messgröße
5:	distribut.	Auswahlfeld	Auswahl der Verteilung der Größe (normal / rechteckig / dreieckig / andere). Hier kann die Low-Level-Anwendungen, (N+x)-Regel ausgewählt werden, was Gamma-Verteilungen der zugehörigen Zählraten-Variablen impliziert
6:	StdDev formula	text field	Formel der Standardabweichung der Größe; keine Formel, wenn die (N+x)-Regel ausgewählt wurde; (der interne Erweiterungsfaktor ist immer 1); als Dezimalpunkt muss immer „.“ verwendet werden
7:	StdDev value	Zahlenfeld	Wert der Unsicherheit bei Normalverteilung, wenn die (N+x)-Regel ausgewählt wurde; in diese Zellen soll nichts eingegeben werden! (der interne Erweiterungsfaktor ist immer 1)
8:	Half width	Zahlenfeld	Halbbreite der Rechteck-/Dreiecksverteilung (der interne Erweiterungsfaktor ist immer 1)
9:	abs./rel.	Auswahlfeld	Auswahl, ob die Unsicherheit aus Sp. 6, 7 oder 8 absolut oder als relativer Wert zu nehmen ist.
10:	abs. std. Unc.	Zahlenfeld	(kombinierte) absolute Standardunsicherheit, vom Programm aus den Werten der Spalten 6, 7, 8 und 9 berechnet; Hinweis: Ein vom Benutzer eingegebener Wert wird immer vom Programm überschrieben!

Die Spalten 1 bis 3 wurden aus der schon vorhandenen Symbolliste übernommen und können hier nicht mehr geändert werden.

Zur Unterstützung des Benutzers sind in der Tabelle diejenigen Zellen mit rotem Hintergrund belegt, in die vom Benutzer keine Eintragungen zu machen sind: Zellen der abhängigen Größen. Es sollen nur Zellen mit weißem Hintergrund vom Benutzer ausgefüllt werden. Die Zeilen für die abhängigen Größen stehen also im oberen Teil der Tabelle, in Zeile 1 findet man die Information zur Ergebnisgröße, bei drei Ergebnisgrößen in den Zeilen 1-3.

Besonderheit für nicht normalverteilte Impulsanzahlen und Zählraten: siehe Behandlung von Impulsanzahlen und Zählraten.

Für eine Datensatz-basierte Größe werden Mittelwert und Unsicherheit intern aus dem dazugehörigen Datensatz berechnet und mit dem Button „Berechnung der Unsicherheiten” in die Zellen der Spalten „Messwert” und „StdAbw-Wert” eintragen, daher haben diese Zellen ebenfalls einen roten Hintergrund.

Die „weißen” Zellen in den Spalten 4 bis 9 sind vom Benutzer auszufüllen. In die Spalte „Messwert” sind auf jeden Fall Zahlenwerte einzutragen, während dies in den Spalten 6 bis 9 nicht für alle Messgrößen erforderlich ist. Auf die Unsicherheiten von Messzeiten z.B. wird man meistens verzichten, die entsprechenden Zellen in den Sp. 6 bis 9 lässt man dann leer. Die Eintragung von Unsicherheitswerten kann in nur jeweils einer der Spalten 6, 7 oder 8 erfolgen. Das Auswahlfeld „abs./rel.” hingegen muss bedient werden, falls in den Spalten 6 bis 8 ein Eintrag vorliegt.

Für Zählraten bzw. Impulsanzahlen kann man die Standardabweichung als Formel in Sp. 6 („StdAbw-Formel”) eingeben - ohne vorangestelltes Gleichheitszeichen. Für die als normal-verteilt angenommenen Messgrößen - in der Regel auch für Zählraten bzw. Impulsanzahlen möglich - erfolgt der Eintrag des Unsicherheitswertes in Spalte 7 („StdAbw-Wert”). Im Falle von Rechteck- bzw. Dreiecks-verteilten Messgrößen erfolgt die Eintragung des dann vorliegenden Unsicherheitswertes als Halbbreite in Spalte 8. Letztere wird programmintern nach GUM-Regeln in eine Standardabweichung (Normalverteilung) umgerechnet und in die Spalte 10 („abs. Std.Uns.”) übertragen.

Eine Zelle in der Spalte „StdAbw-Formel” ist grün markiert. Hier ist die Standardabweichungs-Formel der Bruttozählrate vorzugeben. Diese Formel wird später für die numerisch-iterative Berechnung von Erkennungs- und Nachweisgrenze benötigt. Sie wird als „Unsicherheits-Funktion der Bruttozählrate (und implizit der (verfahrensbezogenen) Nettozählrate)” betrachtet, „die es erlaubt, ihre Unsicherheit für jeden variierten (iterierten) Wert der Bruttozählrate abzuschätzen.” Für die Berechnung der kombinierten Unsicherheit der Ergebnisgröße hat sie jedoch keine Bedeutung.

Mögliche Formeln für Standardabweichung der Brutto-Zählrate Rb (nicht vollständig):

sqrt(Rb/tm) zählende Messgeräte (Messzeit tm), einmalige Messung

sqrt(Rb/tm/n) zählende Messgeräte (Messzeit tm), n-malige Messung

sqrt(Rb/2/tau) Ratemeter-Messungen (Zeitkonstante tau)

Wird zusätzlich zur Bruttozählrate Rb auch die Bruttoimpulsanzahl Nb verwendet, z.B. als Gleichung Rb=Nb/tm, ist zu beachten, dass das Programm bei der Variation von Rb auch die Impulsanzahl Nb entsprechend ändert. Aufgrund dieser Gleichung, Rb=Nb/tm, kann Uncertradio die zu Rb gehörende Impulsanzahl identifizieren. Dadurch wird sichergestellt, dass das Programm beim Abarbeiten der Gleichungen von unten nach oben (Nb ist dann eine unabhängige Größe und Rb abhängig) ein zunächst geändertes Rb und seine Unsicherheit nicht von dem in der Hierarchie nachfolgenden Nb und dessen Unsicherheit wieder überschrieben würde, falls letzterer nicht geändert worden wäre.

Wird die Bruttozählrate Rg als Mittelwert mehrerer Einzelwerte erhalten, so ist eine Interpolation erforderlich zwischen ihrer Varianz bei der Messung (u_Rgm^2) und der für die Berechnung der Erkennungsgrenze zu verwendenden Varianz (u_R0^2). Die Formel für die Standardunsicherheit kann geschrieben werden als:

(2.4.1)¶\[\sqrt{u(R_{0})^{2} + (u(R_g)^2 – u(R_{0})^{2})*(R_{g} - R_{0}) / (R_{gm} – R_{0})}\]

Hierin sind Rg und Rgm der geänderte (variierte) bzw. der gemessene Wert der Bruttozählrate. Nimmt Rg den oberen Wert Rgm an, so ergibt sich sqrt(u_Rbm^2), für den unteren Wert Rg=R0 ergibt sich sqrt(u_R0^2). Dies erfordert, die Symbole Rgm, u_Rgm und u_R0 an die Symbolliste unabhängiger Größen (TAB „Gleichungen”) anzuhängen. Sie erhalten keine Unsicherheit, und ihre Werte sind explizit in der Tabelle „Werte, Unsicherheiten” vorzugeben.

Bemerkung

Seit der Programmversion 2.3.05 (2020/01) ist es nicht mehr erforderlich, dass der Benutzer UncertRadio die Gleichung (2.4.1) oder eine ähnliche Formel vorgibt. Auch die Einführung zusätzlicher Hilfsgrößen kann entfallen. Das Abschnitt 4.9 informiert allgemein darüber, wie Datensätze zur Mittelwertbildung vorzugeben sind. Darauf aufbauend beschreibt die Abschnitt 4.12 die notwendigen Berechnungen und Manipulationen im Programm zur Ableitung einer erweiterten Version der Gleichung (2.4.1).

Der Typ der Gleichung (2.4.1) für die Unsicherheit des Bruttozählraten-Mittelwerts hängt davon ab, ob die einem Mittelwert zugeordneten Einzelwerte solchen zufälligen Einflüssen unterliegen, die man als nicht bekannt oder als bekannt einstuft. Für diese beiden Fälle werden unterschiedliche Arten der Gleichung (2.4.1) verwendet. Dies wird ebenfalls in Abschnitt 4.12 erläutert. Dort werden auch Beispiel-Projekte genannt.

Bei speziellen Messproblemen kann die Standardabweichungs-Formel der Bruttozählrate länger sein als der sichtbare Teil dieser Zelle. Zum besseren Editieren kann man diese Formel dann per Kopieren und Einfügen (im Maus-Kontextmenü) aus dieser Zelle in die längere Textzelle („Extra-Arbeitszelle zum Editieren von Formeln”) oberhalb der Tabelle und wieder zurück kopieren.

Unterhalb der Unsicherheiten-Tabelle ist eine kleinere Tabelle für die Eingabe von Kovarianzen vorgesehen. Sie besteht aus den Spalten:

1:	Symbol A	Symbole-Auswahlfeld für Größe A
2:	Symbol A	Symbole-Auswahlfeld für Größe B
3:	Type	Auswahlfeld zur Wahl zwischen Kovarianz und Korrelationskoeffizient als Eingabe
4:	Formel	Textfeld zur Definition der Kovarianz als Formel als Funktion der bereits definierten Symbole
5:	(oder) Wert	Zahlenfeld zur Eingabe des Werts der Kovarianz / des Korrelationskoeffizienten

In den Spalten 1 und 2 wählt man die Messgrößen-Symbole für die gewünschte Kovarianz aus. Hat man in Spalte 3 „Kovarianz” als Typ ausgewählt, kann in der Spalte „Formel” eine Formel dafür eingegeben werden. Ansonsten kann der Zahlenwert der Kovarianz oder des Korrelationskoeffizienten auch direkt in die 5. Spalte eingegeben werden.

Zusammenhang zwischen Korrelationskoeffizient r und Kovarianz cov:

\(r(SymbolA,\ SymbolB) = \frac{cov(SymbolA,\ SymbolB)}{\sqrt{var(SymbolA) \bullet var(SymbolB)}}\)

Nach Vervollständigung der Benutzereingaben in der Unsicherheiten-Tabelle und in der kleineren Kovarianz-Tabelle wird durch einen Mausklick auf den Button „Berechnung der Unsicherheiten” folgendes berechnet:

Hinweis: Alle Berechnungen in diesem TAB und den folgenden beziehen sich auf die tatsächlich ausgewählte Ergebnisgröße, wenn für das Projekt mehr als eine Ergebnisgröße definiert wurde. Über den Menüpunkt „Edit – Select output quantity” kann eine andere Ergebnisgröße ausgewählt werden;
Unsicherheitstabelle: Werte der abhängigen Größen (rot eingefärbte Felder) werden berechnet und in die entsprechenden Zellen eingefügt; Formeln für Standardabweichungen in der Spalte „StdDev formula” werden ausgewertet; Standardunsicherheiten der unabhängigen Größen werden in die Spalte „abs. std.Unc.“ ausgewertet;
Kovarianztabelle: Auswerten der Kovarianz-Formeln als numerische Werte in die Spalte „(or) Value”;
Unsicherheitstabelle: Nun sind alle Varianzen/Kovarianzen für die vollständige Unsicherheitsfortpflanzung bekannt; Berechnung der Standardunsicherheiten der abhängigen Größen (a) unterhalb der Ergebnisgröße und der Ergebnisgröße (Zeile 1 in dieser Tabelle); die kombinierten Standardabweichungen der abhängigen Größen (rot eingefärbt) werden ausschließlich aus den Unsicherheiten/Kovarianzen der unabhängigen Größen (weiß eingefärbt) berechnet.

Erst nach Abschluss dieser Rechnungen wird das TAB „Unsicherheiten-Budget“ freigeschaltet.

Bei sehr komplexen Messproblemen und einem langsameren PC mag es sein, dass diese Berechnungen einen gewissen Moment dauern; dies wird in dem Statusbar-Segment am unteren rechten Rand des UncertRadio-Fensters mit dem Eintrag „Rechnet..” angezeigt, aus dem nach Abschluss der Rechnung „Fertig!” wird.

Hinweis: Auswirkung der Änderung von Optionen

Arbeiten mit Tabellen: siehe Menü Bearbeiten - Tabelle