5.20. Behandlung von Impulsanzahlen und Zählraten

Die nachfolgend beschriebene Besonderheit für nicht normalverteilte Impulsanzahlen und Zählraten bezieht sich nur auf die Monte Carlo-Simulation nach ISO 11929-2019, Teil 2. Nach Teil 1 von ISO 11929 werden die Eingangsgrößen ohnehin als normalverteilt angenommen oder lassen sich mit dem Prinzip der maximalen Entropie dieser Verteilung zuordnen.

Nach GUM Supplement 1 (JCGM 101:2008), Abschnitt 6.4.11, wird für gezählte Ereignisse, z.B. gezählte Photonen, die Poisson-verteilt sind und eine Eingangsgröße \(X\) repräsentieren, das folgende Verfahren zur Bestimmung der Verteilung der Eingangsgröße empfohlen. Mit Hilfe des Bayes-Theorems wird der Größe \(\mathbf{X}\) bei \(\mathbf{q}\) gezählten Ereignissen unter Verwendung eines konstanten Priors eine Gammaverteilung als Posteriorverteilung zugeordnet, die für die Unsicherheitsermittlung als Eingangsverteilung von \(X\) zu verwenden ist:

(5.20.1)\[g_{X}(\xi) = \frac{\xi^{q}e^{- \xi}}{q!} \equiv Ga\left( \xi|q + 1,1 \right) \text{ for } \xi \geq 0\]

Mittelwert und Varianz sind dann \(E\lbrack X\rbrack = q + 1\) und \(Var\lbrack X\rbrack = q + 1\). Dies bezieht sich auf Impulsanzahlen.

In ISO 11929-2019 wird aus einer Poisson-verteilten Impulsanzahl auf die Gammaverteilung der Eingangsgröße „Zählrate” \(\rho\) geschlossen, wobei nicht der konstante Prior verwendet wird, sondern der Prior \(\rho^{- 1}\), so dass Mittelwert und Varianz gleich \(q/t\) und \(q/t^{2}\) sind.

In UncertRadio wird der beschriebene Schritt wie folgt behandelt. Wie bereits durch Gl. (5.20.1) gegeben, wird der Impulsanzahl \(n\) die Gamma-Verteilung zugewiesen, indem der Verteilungstyp „(N+x) rule” für \(n\) gewählt wird (dies entspricht einer Prior-Verteilung \(\rho^{- 1}\)). Durch Berechnung der zugehörigen Zählrate \(R\), die eine Gleichung wie \(R = n/t\) erfordert, ist auch die Zählrate Gamma-verteilt. Dies bedeutet auch, dass eine in UncertRadio als Gamma-verteilt zu behandelnde Zählrate immer durch eine Gleichung wie \(R = n/t\) definiert werden muss.

Bei der Aktivitätsmessung kann noch zwischen zwei Varianten unterschieden werden,

• die Messung mit Zeitvorwahl (die Impulsanzahl \(n\) ist zufällig verteilt, sie folgt einer Poissonverteilung) und

• der Messung mit Impulsvorvorwahl (die Messdauer \(t\) ist zufällig verteilt, sie folgt einer Erlang-Verteilung).

Die Erlangverteilung wird im Lehrbuch von Knoll angeführt (Knoll, G.F., Radiation Detection and Measurement, 2nd edition, (JohnWiley, NewYork,1989), pp. 96-99);

See also:

• International Safety Research, Safety Support Series, 2013. Radiation Counting Statistics. Volume 1. Canada.

• Pengra, D., 2008

• Pishro-Nik, H., Introduction to Probability

Vergleich der Erlang- und der Poissonverteilung

Die beiden Verteilungen sind wie folgt definiert, dabei ist \(\rho\) der Zählratenparameter:

Poisson distribution:

(5.20.2)\[P_{Poi}(n) = \frac{(\rho t)^{n}e^{- \rho\ t}}{n!}\]

\[E\left\lbrack P_{poi} \right\rbrack = \ Var\left\lbrack P_{poi} \right\rbrack = \rho t\]

die Gammaverteilung,

(5.20.3)\[P_{Erl}(t) = \frac{\rho^{n}t^{n - 1}e^{- \rho\ t}}{(n - 1)!}\left\lbrack \equiv Ga\left( t|n,\rho \right) \right\rbrack\]

\[E\left\lbrack P_{Erl} \right\rbrack = n/\rho;\ \ \ \ \ \ \ \ \ Var\left\lbrack P_{poi} \right\rbrack = n/\rho^{2}\]

Die Erlangverteilung ist also eine Gammaverteilung für ganzzahlige \(n\). Man kommt mit Hilfe der beiden Formeln (5.20.2) und (5.20.3) auf einen einfachen Zusammenhang:

(5.20.4)\[{t\ P}_{Erl}\left( t|\rho,n \right) = n\ P_{poi}\left( n|\rho,t \right)\]

Wendet man auf beide Verteilungen das Bayes-theorem mit einem Prior von \(\rho^{- 1}\) an, ergeben sich wie folgt gleichartige Posterior-Verteilungen für die Zählrate \(\rho\), nämlich eine Gammaverteilung:

Messung mit Zeitvorwahl:

(5.20.5)\[\frac{P_{Poi}\left( n|\rho,t \right)\rho^{- 1}}{\int_{}^{}{P_{Poi}\left( n|\rho,t \right)\rho^{- 1}d\rho}} = \frac{P_{Poi}\left( n|\rho,t \right)\rho^{- 1}}{1/n} = \frac{n(\rho t)^{n}e^{- \rho\ t}\rho^{- 1}}{n!} = \frac{t^{n}{\rho^{n - 1}e}^{- \rho\ t}}{(n - 1)!} = Ga\left( \rho|n,t \right)\]

Messung mit Impulsvorwahl:

(5.20.6)\[\frac{P_{Erl}\left( t|\rho,n \right)\rho^{- 1}}{\int_{}^{}{P_{Erl}\left( t|\rho,n \right)\rho^{- 1}d\rho}} = \frac{P_{Erl}\left( t|\rho,n \right)\rho^{- 1}}{1/t} = \frac{t\rho^{n}t^{n - 1}e^{- \rho\ t}\rho^{- 1}}{(n - 1)!} = \frac{t^{n}{\rho^{n - 1}e}^{- \rho\ t}}{(n - 1)!} = Ga\left( \rho|n,t \right)\]

Aus den Gl. (5.20.5) und (5.20.6) kann auf folgende Gleichsetzung geschlossen werden, die wiederum zum einfachen Zusammenhang zwischen Erlang- und Poissonverteilung nach Gl. (5.20.4) führt:

\[\frac{P_{Poi}\left( n|\rho,t \right)\rho^{- 1}}{1/n} = \frac{P_{Erl}\left( t|\rho,n \right)\rho^{- 1}}{1/t}\]

or

(5.20.7)\[t\ P_{Erl}\left( t|\rho,n \right) = n\ P_{Poi}\left( n|\rho,t \right)\]

Wird für die Poisson-Verteilung ein anderer Prior verwendet, \(\rho^{- 1/2}\), so erhält man wieder eine Gamma-Verteilung, aber eine andere: \(Ga\left( \rho|n + 1/2,t \right)\).

In the case of pre-set counts (\(t\) variable), the Erlang distribution must be assigned to \(t\) by selecting the distribution type „Npreset“ for \(t\). By an also required equation like \(R = n/t\), the Gamma distribution\(\ Ga\left( \rho|n,t \right)\) is thereby internally assigned to the count rate \(R\).

Example project: PresetCounts_EN.txp