5.15. Vorgehen zur Berechnung der Erkennungs- und Nachweisgrenze für Gamspk1

Die iterative Berechnung von Erkennungsgrenze und Nachweisgrenze erfolgt, nachdem der Mittelwert \(\overline{A}\) aus den Einzelwerten \(A_{i}\) berechnet worden ist (siehe Dialog der Spektrumsauswertung für die Erklärung der verwendeten Symbole). Die Iteration erfolgt durch Variation (d.h. Änderung) des Mittelwerts, ein geänderter Wert sei mit \(A'\) bezeichnet. Danach werden alle Einzelwerte der Aktivität \(A_{i}\) durch den neuen (fiktiven) Wert von \(A'\) ersetzt. Aus der Bestimmungsgleichung für die \(A_{i}\) :

(5.15.1)\[A_{i} = R_{ni}\frac{f_{att,i\ } \cdot \ f_{coinsu,i}}{\epsilon_{i}{\ \cdot \ p}_{\gamma i}\ }\]

erhält man durch Umkehrung der Gleichung

(5.15.2)\[R_{ni} = A_{i}\left( \frac{\epsilon_{i}{\ \cdot \ p}_{\gamma i}}{f_{att,i\ } \cdot \ f_{coinsu,i}}\ \ \right)\]

und daraus mit der Ersetzung \(A_{i} = A'\ \) eine Gleichung für die zum variierten Wert \(A'\) passenden (fiktiven) Nettozählraten:

(5.15.3)\[R_{ni}^{'} = A'\left( \frac{\epsilon_{i}{\ \cdot \ p}_{\gamma i}}{f_{att,i\ } \cdot \ f_{coinsu,i}} \right)\]

Ziel ist nun, die Unsicherheiten der \(R_{ni}^{'}\) zu bestimmen, dann, über Unsicherheitsfortpflanzung gemäß (5.15.1), die Unsicherheiten der Einzelaktivitätswerte \(A_{i} = A'\ \)und schließlich, mit der gewählten Methode für den Mittelwert, die Unsicherheit \(u(A')\) des (iterierten oder fiktiven) Mittelwerts \(A'\) abzuleiten.

The following ansatz (a separation) is chosen for the uncertainties \(u\left( R_{ni}^{'} \right)\) (see also Abschnitt 5.16):

(5.15.4)\[u^{2}\left( R_{ni} \right) = \left\lbrack \frac{R_{ni}}{tlive} \right\rbrack + \frac{R_{T}}{tlive}f_{B} + \frac{R_{bg}}{tlive} + u^{2}\left( R_{bg} \right)\]

Hierin ist allein der erste Summand auf den Anteil der Probenaktivität an der Zählrate bezogen. Die restlichen Terme darin beschreiben die Unsicherheitsbeiträge von Parametern, die den Untergrund der i-ten Gammalinie definieren, d.h. Compton-Untergrund inklusive Nettozählrate eines „Peaks im Nulleffekt”.

Unter Verwendung der letzten Gleichung zusammen mit den Gl. (5.15.3), (5.15.4) und (5.15.1) können nun, wie weiter oben bereits angedeutet, die (fiktiven, variierten) Aktivitäten der einzelnen Gammalinien und ihre Unsicherheiten ermittelt werden. Anschließend stehen nach der Berechnung des sich daraus ergebenden (fiktiven) Mittelwerts und seiner Standardunsicherheit diejenigen Werte zur Verfügung, die benötigt werden, um den nächsten Iterationsschritt durchzuführen und auch die Konvergenz der Iteration zu prüfen.

Wichtig:

Es kann „externe” Einflüsse geben, die dazu führen, dass die berechneten Werte \(A_{i}\) der einzelnen Gammalinien stärker untereinander streuen als es von der Größe der Einzelunsicherheiten her zu erwarten wäre.

Dieser Effekt kann beim gewichteten Mittelwert auftreten, wenn die „externe” Standardunsicherheit deutlich größer als die „interne” Standardunsicherheit oder der Wert des „reduzierten Chi-Quadrat” deutlich größer als eins ist.

Im Falle des arithmetischen Mittels mit additiver Korrektur kann dies daran erkannt werden, dass die Korrektur \(C\) und insbesondere ihre Unsicherheit \(u(C)\) zu einer signifikanten Verschiebung der Ergebnisse im Vergleich zum unkorrigierten arithmetischen Mittel oder dessen Unsicherheit führen.

Diese Einflüsse werden im Auswertemodell gegeben durch (5.15.1) üblicherweise nicht betrachtet. Die Bestimmung von Erkennungsgrenze und Nachweisgrenze erfordert eine Iteration der Aktivitätswerte. Die Umkehrung dieser Gleichung, d. h. die Berechnung der Nettozählraten \(R_{ni}^{'}\) gemäß (5.15.3), die für einen gegebenen (iterierten) Wert der Aktivität \(A'\) zu erwarten sind, führt direkt zur Eliminierung dieses „externen” Einflusses. Dann folgen aus den erhaltenen Nettozählraten \(R_{ni}^{'}\) Einzelaktivitätswerte aus (5.15.1), die alle denselben identischen Wert \(A'\) haben, d. h. ihre Spreizung ist gleich null!

Diese Eigenschaft bedeutet für die Berechnung von Erkennungs- und Nachweisgrenze, dass der bei der Messung der Ergebnisgröße möglicherweise feststellbare externe Einfluss nicht zum Tragen kommen kann. Insofern wird die Verwendung der externen Standardabweichung beim gewichteten Mittelwert bzw. des NIST-2004-Verfahrens überhaupt stark eingeschränkt, auf jeden Fall im Hinblick auf Erkennungs- und Nachweisgrenze.