5.13. Berechnung des gewichteten Mittelwerts und seiner Standardunsicherheit

Der gewichtete Mittelwert \(\overline{A}\) der Aktivitäten \(A_{i}\) der einzelnen Gammalinien wird nach folgender Gleichung berechnet:

\(\overline{A} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{\ \frac{A_{i}}{u^{2}\left( A_{i} \right)}}}{\sum_{i = 1}^{n}{\ \frac{1}{u^{2}\left( A_{i} \right)}}}\) (1)

Die Standardunsicherheit des gewichteten Mittelwerts, zunächst ohne Einbeziehung von Kovarianzen, wird nach der folgenden Gleichung berechnet:

\(u\left( \overline{A} \right) = \sqrt{\frac{1}{\sum_{i = 1}^{n}{\ \frac{1}{u^{2}\left( A_{i} \right)}}}} = u_{int}\left( \overline{A} \right)\) (2)

Diese wird auch als „interne Standardabweichung” bezeichnet. Sie berücksichtigt ausschließlich die Unsicherheiten der Einzelaktivitäten. Sie ist Bayes-konform.

Es kann aber vorkommen, dass die Einzelwerte \(A_{i}\) stärker voneinander abweichen, als es die Unsicherheiten \(u\left( A_{i} \right)\) erwarten lassen würden. Um diese auf „externe Einflüsse” zurückgehende zusätzliche Streukomponente zu berücksichtigen, wird vielfach auch die so genannte „externe Standardabweichung” verwendet, die wie folgt definiert ist:

\(u_{ext}\left( \overline{A} \right) = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{\ \frac{\left( A_{i} - \overline{A} \right)^{2}}{u^{2}\left( A_{i} \right)}}}{(n - 1)\sum_{i = 1}^{n}{\ \frac{1}{u^{2}\left( A_{i} \right)}}}}\) (3)

Es wird darauf hingewiesen, dass die Standardunsicherheit nach Gleichung (3) nicht mehr Bayes-konform ist.

Die Faktoren \(1/u^{2}\left( A_{i} \right)\) innerhalb der in den Gleichungen (1-3) enthaltenen Summen stellen statistische Gewichte dar. Diese sind als konstant zu betrachten. Dennoch werden sie vor ihrer Anwendung aus anderen veränderlichen Werten \(x_{in}(j)\) berechnet, die auch zu den \(A_{i}\) beitragen. Wenn, nachdem Gl. (1) berechnet wurde, eine numerische Unsicherheitsfortpflanzung für \(\overline{A}\) bezüglich der \(x_{in}(j)\) durch Anwendung von Differenzenquotienten folgt, dürfen die Werte \(u^{2}\left( A_{i} \right)\) nicht geändert werden. Unter dieser Nebenbedingung liefert die Unsicherheitsfortpflanzung für Gl. (1) direkt die durch Gl. (2) gegebene Unsicherheit. Diese Bedingung wird seit Version 2.4.05 berücksichtigt. Die Werte \(u^{2}\left( A_{i} \right)\) dürfen nur innerhalb der Iterationen zur Berechnung von Erkennungsgrenze und Nachweisgrenze neu berechnet werden, einmal pro Einzel-Iterationsschritt.

UncertRadio berechnet intern beide, interne und externe Standardunsicherheit, verwendet aber für die weiteren Rechnungen nur die interne Standardunsicherheit. Die externe Standardabweichung wird zur Information mit angezeigt. Der Hintergrund ist der, dass es eine wertvolle Information für den Benutzer ist, wenn die externe deutlich größer als die interne Standardabweichung ist; dies kann ein Hinweis auf mögliche Fehlerquellen sein, dem man nachgehen sollte.

Kovarianzen zwischen den Werten der Nachweiswahrscheinlichkeiten der einzelnen Linien, die derselben Effizienzkurve entnommen wurden, gehen in die Kovarianzmatrix U~x~ der Eingangswerte x ein:

\(cov\left( A_{m},A_{k} \right) = \frac{A_{m}}{\varepsilon_{m}}\frac{A_{k}}{\varepsilon_{k}} \cdot cov\left( \epsilon_{m},\epsilon_{k} \right)\)

Wichtiger Hinweis: Nach Cox et al. (2006b) stellen die hier gezeigten Gleichungen für den gewichteten Mittelwert und dessen Unsicherheit nur noch eine Näherung dar, wenn zusätzlich noch Kovarianzen zwischen den Unsicherheiten auftreten. Stattdessen ist in solch einem Falle ein gewichtetes Least-squares-Verfahren für den Mittelwert anzuwenden. Die Beschreibung dieses Verfahrens erfolgt im Abschnitt Abschnitt 5.14.