5.8. Textfenster für die Gleichungen

Die Gleichungen können hier zeilenweise eingetragen werden. Ein besonderes Zeilenende-Symbol ist nicht erforderlich; lediglich im Falle, dass eine Gleichung über mehrere Zeilen fortgesetzt werden soll, ist am Ende einer fortzusetzenden Zeile das „&”-Zeichen zu schreiben.

Der Aufbau der Gleichungen hat hierarchisch zu erfolgen.

Man beginnt mit der Grundgleichung, welche die Ergebnisgröße y definiert. Diese kann z.B. lauten:

y = w * Rn - Ai

Man kann hierbei selbstverständlich ein anderes Symbol für die Ergebnisgröße verwenden. In den darauffolgenden Zeilen werden die auf der rechten Seite verwendeten Symbole - soweit sie nicht schon primäre Eingangsgrößen darstellen - durch weitere Gleichungen (Hilfsgleichungen) definiert, z.B.:

Rn = Rg - R0 Nettozählrate

w = 1. / (eps * eta * m) * f1 verfahrensbezogener Kalibrierfaktor

f1 = exp(+log(2.) * t1 / tr) inverser Abklingfaktor

Ai (=z2) ein abzuziehender Interferenzbeitrag

Hierbei ist Ai ein abzuziehender Interferenzbeitrag zur Aktivität, d.h. Ai ist gleich der programmintern ermittelten Konstanten FC. Der Faktor w entspricht dem programmintern ermittelten Faktor FL.

Anmerkungen: a) Sind für das Projekt mehr als eine Ergebnisgröße definiert, z. B. drei, so muss für jede Ergebnisgröße eine Grundgleichung existieren; dies sind dann die ersten drei Gleichungen. b) Falls eine Interferenz durch ein anderes Radionuklid vorliegt, ist unter Rn die „verfahrensbezogene Nettozählrate” zu verstehen, deren Gleichung einen für diese Interferenz zusätzlich berechneten Term enthält.

Der einfache Ausdruck Rn = Rg - R0 kann auch bei zusätzlichen Interferenzbeiträgen verwendet werden. Dieser (Interferenz-)Beitrag wird durch die programmintern ermittelte Hilfsgröße FC automatisch berücksichtigt (*siehe auch :numref:`numerical procedures`).*

Wegen der hierarchischen Struktur werden die Gleichungen vom Programm zur Berechnung von Werten von unten nach oben abgearbeitet. Dies bedeutet, dass in einer bestimmten Gleichung nur Symbole für Hilfsgleichungen verwendet werden dürfen, die unterhalb dieser definiert werden. Das Programm testet intern, ob diese Regel eingehalten wird; falls nicht, erhält der Benutzer eine entsprechende Warnung.

Es ist erforderlich, wie oben gezeigt eine eigene Gleichung für die Definition der Netto-Zählrate Rn zu verwenden. In der wichtigen Gleichung für die Nettozählrate Rn darf die Bruttozählrate auch mit einem Faktor multipliziert auftreten, was in ganz seltenen Anwendungen vorkommen kann. Dieser Faktor, wenn er denn ungleich eins ist, wird programmintern ermittelt; er spielt lediglich bei der Erkennungs- und Nachweisgrenzen-Berechnung eine Rolle.

Hinweis: Das Symbol der Bruttozählrate muss direkt in der Gleichung enthalten sein, die die Nettozählrate definiert, oder ein weiteres Symbol in dieser Gleichung verweist auf eine weitere Hilfsgleichung, die es dann enthält.

Beispiel: Rn = Rn1 - Rblank; Rn1 = Rg - R0.

Der verfahrensbezogene Faktor w enthält im obigen Beispiel den inversen Abklingfaktor f1 zur Korrektur des radioaktiven Zerfalls eines Radionuklids r mit der Halbwertszeit tr über die Zeitdauer t1 zwischen Probenahme und Messbeginn. Nachweiswahrscheinlichkeit, chemische Ausbeute und Probenmasse sind eps, eta bzw. m.

Die auf den linken Seiten der Gleichungen auftretenden Symbole werden als „abhängige (a)“, diejenigen der rechten Seiten, soweit sie nicht auch auf einer linken Gleichungsseite auftreten, als „unabhängige (u)“ Messgrößen (Eingangsgrößen) eingestuft.

Es können ausgiebig Hilfsgleichungen benutzt werden. Es kann jedoch nicht passieren, wie es sonst bei dem herkömmlichen Vorgehen leicht möglich wäre, dass Korrelationen zwischen den eingeführten Hilfsgrößen auftreten, wenn die den Hilfsgrößen zugeordneten Unsicherheiten auch zur Unsicherheitsfortpflanzung benutzt würden. UncertRadio verwendet nämlich nur Unsicherheiten unabhängiger Größen.

Die Syntax für die Schreibweise der Formelsymbole soll sich an die in Programmiersprachen üblichen Schreibweisen für Variable halten. Hier wird programmintern mit FORTRAN 90 gearbeitet. Zwischen Groß- und Kleinschreibung wird intern nicht unterschieden, es wird aber - der besseren Lesbarkeit wegen - empfohlen, Groß- und Kleinschreibung zu verwenden. Der Unterstrich (underscore) darf in den Symbolen verwendet werden, nur nicht als erstes Zeichen. Ein Formelsymbol soll immer mit einem Buchstaben beginnen.

Für Zahlen in den Gleichungen (auch in den Tabellen) ist immer der Dezimalpunkt zu verwenden. In den Gleichungen verwendete Zahlen, z.B. 1. bzw. 2. in den obigen Gleichungen für Fakt bzw. f1 werden vom Function parser immer als doppelt genaue Zahlen interpretiert.

Interne Funktionen und Operatoren:

Alle internen Berechnungen erfolgen mit Arithmetik doppelter Genauigkeit („double precision“).

Folgende intrinsische arithmetische Funktionen können, ähnlich - aber nicht identisch - wie z.B. in MS Excel, benutzt werden:

sqrt(x) Wurzelfunktion

exp(x) Exponentialfunktion

log(x), ln(x) natürlicher Logarithmus

log10(x) dekadischer Logarithmus

Es kann auch die neue Funktion fd() mit drei Parametern verwendet werden, die einen über die Messdauer tm gemittelten Abklingfaktor darstellt:

fd(tA, tm, xlam) = exp(-xlam * tA) * (1 - exp(-xlam * tm)) / (xlam * tm)

It also is:

fd(tA, tm=0, xlam) = exp(-xlam * tA)
fd(tA=0, tm, xlam) = (1 - exp(-xlam * tm)) / (xlam * tm)

Diese Funktion gab es in UR1 nicht.

Bei manchen Projekten ist es erforderlich, die Unsicherheit u(x) eines Eingangsgrößenwerts x als eigenen Wert zu verwenden. Dazu wurde durch Erweiterung des Funktions-Parsers eine Funktion uval(x) eingeführt. Als Beispiel kann die relative Unsicherheit \(u_{rel}(w)\) als Variable urelw wie folgt eingeführt werden:

urelw = uval(w) / w

Das Argument der Funktion uval() muss ein einzelnes, zur Symbolliste gehörendes existierendes Symbol sein. Ein arithmetischer Ausdruck mit mehr als einer Variablen ist nicht erlaubt; Letzteres, z. B. uval(a+b), würde bedeuten, eine Unsicherheitsfortpflanzung für einen solchen Ausdruck durchzuführen, wofür uval() nicht gedacht ist. Falls der Wert von uval(x) als konstanter Wert behandelt werden soll, darf x keine Bruttoimpulsanzahl bzw. Bruttozählrate darstellen, da sich deren Werte und Unsicherheiten bei der Berechnung von Erkennungs- und Nachweisgrenze ändern.

Neben den üblichen Operatoren +, -, * und / wird für das Potenzieren noch ** verwendet: a**b heißt a hoch b, wofür man hier auch a^b schreiben darf, wie in Excel oder R.

Hinweise:

Das Programm enthält bereits ein Verfahren, das die Abschätzung der Nettozählrate als Ergebnis einer gewichteten multilinearen Least-squares-Anpassung an eine gemessene Abklingkurve erlaubt. Es steht für Abklingkurven von Y-90 zur Verfügung und kann leicht z. B. auf kombinierte Anwachs-/Abklingkurven einer Y-90-, Sr-89- und Sr-90-haltigen Messquelle angewendet werden.

Wichtig

Dieses Tool hat noch nicht seinen endgültigen Stand erreicht. Hierzu ist es nötig, noch weitere Fallanwendungen dafür zu sammeln; für entsprechende Vorschläge ist der Autor dankbar!

Weitere Informationen: Lineares Least squares-Verfahren.

Für die Gammaspektrometrie steht ein Verfahren zur Verfügung, mit dem die Aktivität eines Radionuklids mit mehreren Gammalinien als Mittelwert der Einzellinien-Aktivitäten abgeschätzt werden kann. Es werden zwei Verfahren zur Mittelwertbildung angeboten.

Die erste Methode ist der gewichtete Mittelwert, verbunden mit seinen sogenannten „internen” und „externen” Standardabweichungen. Wenn die Werte der beiden Standardabweichungen etwa gleich groß sind, folgert man, dass die Aktivitätswerte der einzelnen Linien sich in statistischer Kontrolle befinden. Dies ist ein eingeführtes Verfahren, es wird aber darauf hingewiesen, dass die Verwendung der „externen” Standardabweichung nicht Bayes-konform ist.

Die zweite Methode verwendet anstelle von Formeln für diesen Mittelwert direkt das Matrix-basierte least squares-Verfahren. Für die Einbeziehung von Kovarianzen ist dieses besser geeignet.

Voraussetzung für dieses Verfahren ist, dass die für die Bestimmung der Aktivität des Radionuklids verwendeten Gammalinien nicht von Linien anderer Radionuklide gestört werden.

Weitere Informationen: Aktivitätsbestimmung mit mehreren Gammalinien.