4.3. Lineares Least squares-Verfahren¶
Prinzip des multilinearen Least-squares-Fittings
Model
Für die Verwendung der (multi-)linearen Least-Squares-Anpassung (LSQ-Analyse) wird folgendes Modell einer Abklingkurve angenommen:
An die von einer Zeitdauer \(t_{k}\) abhängigen Messwerte der Größe Y kann die Summe aus bis zu drei Termen angepasst werden, die ebenfalls von der Zeitdauer \(t_{k}\) abhängen; k zählt die Messwerte ab. Die \(a_{i}\) sind die Koeffizienten (Fitparameter), deren Werte aus der Anpassung ermittelt werden. Die Größen \(X_{i}\left( t_{k} \right)\) sind als bekannt vorauszusetzende Funktionen (Abklingkurven), die nur von \(t_{k}\) und anderen nicht explizit aufgeführten Parametern abhängen, die nicht Gegenstand der Anpassung sind. Sie dürfen insbesondere nicht von den anzupassenden Koeffizienten \(a_{i}\) abhängen. \(Y\left( t_{k} \right)\) wird als abhängige Variable, die \(X_{i}\left( t_{k} \right)\) als unabhängige Variable in der LSQ-Analyse verwendet. Es wird hierbei zunächst angenommen, dass die Messung der Werte von \(Y\left( t_{k} \right)\) mit einem Einkanal-Zähler erfolgt.
Mit der Einführung von bis zu drei simultan zu behandelnden Ergebnisgrößen ist es auch möglich, dass z.B. die simultane Messung mehrerer Radionuklide in Zweikanal- oder Dreikanal-Zählern erfolgt. Mit einem LSC mit drei eingerichteten Zählkanälen können beispielsweise die Aktivitäten von Sr-90, Sr-89 und Sr-85 (Ausbeute-Tracer) simultan gemessen werden.
Sind für ein Projekt mehr als nur eine Ergebnisgröße definiert – z.B. zwei oder drei, die den Aktivitäten verschiedener Radionuklide entsprechen –, werden vom Programm drei Symbole, Fitp1, Fitp2 und Fitp3, in die Liste der Symbole eingefügt, die den Werten der \(a_{i}\) entsprechen. Diese Namen dürfen nicht geändert werden. Der Benutzer kann aus ihnen dann mit Hilfe weiterer Gleichungen (im Fenster des TABs „Gleichungen”, oberhalb des Linfit-Aufrufs) z.B. die zerfallskorrigierten Aktivitätskonzentrationen berechnen lassen. Im TAB „Werte, Unsicherheiten” werden für diese neuen Variablen vom Programm auch die aus der Anpassung erhaltenen Standard-Unsicherheiten eingetragen. Im selben TAB werden vom Programm auch die möglichen Korrelations-Paare zwischen den drei Fitparametern mit den jeweiligen Korrelationskoeffizienten eingetragen, so dass die gesamte Kovarianz-Matrix der drei Fitparameter bei der Fortpflanzung der Unsicherheiten korrekt berücksichtigt werden kann.
Es sei darauf hingewiesen, dass auch im Falle von zwei Ergebnisgrößen alle drei Symbole, Fitp1, Fitp2 und Fitp3, in die Symbolliste eingetragen werden. Lediglich dann, wenn nur eine Ergebnisgröße existiert, wird keiner dieser drei Parameter in die Symbolliste eingetragen. In diesem Fall wird der Wert dieses Fitparameters direkt der Variable Rn in dem Aufruf Rn = Linfit(1,… ) zugeordnet (s weiter unten).
In UncertRadio verwendete Routinen für Least squares- und andere Verfahren
Im Programm kommen zwei verschiedene Routinen für die Least squares-Berechnungen zum Einsatz. Diese sind:
the “simple“ least squares procedure (LSQ) which is usually used if the values \(X_{i}\left( t_{k} \right)\) do not have uncertainties; the measured values \(Y\left( t_{k} \right)\), however, have uncertainties, covariances between them are also taken into account. If the values \(X_{i}\left( t_{k} \right)\) nevertheless have uncertainties, they are included by UncertRadio within the uncertainty propagation outside the LLSQ routine;
In autumn 2013, three options for selecting a fitting procedure were introduced, which differ in their associated Chi-square expressions:
WLS: Verwendung des Neyman-Chi-Quadrat; dieses Verfahren ist identisch mit dem bisher als NLSQ abgekürzten Verfahren; linear, keine Iterationen;
PLSQ: Verwendung des Pearson-Chi-Quadrat; linear / iterativ;
PMLE: Poisson Maximum Likelihood Estimation (Poisson MLE); nicht-linear / iterativ.
der „allgemeine Fall“ der Methode der kleinsten Quadrate (WTLS, weighted total least squares), der zusätzlich Unsicherheiten der \(X_{i}\left( t_{k} \right)\) und mögliche Kovarianzen zwischen ihnen berücksichtigt. Dabei wird ein iteratives, d. h. nichtlineares, Matrixverfahren verwendet, das wegen der Iterationen eine aufwändigere Methode ist. Die möglichen Kovarianzen zwischen den \(X_{i}\left( t_{k} \right)\)-Werten werden vom Programm intern bestimmt, indem partielle Ableitungen nach den in den \(X_{i}\left( t_{k} \right)\)-Funktionen enthaltenen Symbolen angewendet werden; sie müssen nicht vom Benutzer geliefert werden.
Die Hintergründe zu den genannten Fitverfahren sind im Chi-Quadrat-Optionen zu finden.
Standardmäßig wird mit dem Aufruf Rn = Linfit(1,… ) zunächst das „einfache” LSQ-Verfahren aktiviert. Die Verwendung von WTLS kann im Dialog Festlegung des Modells der Abklingkurve aktiviert werden.
Notes:
Korrelationen zwischen Messwerten \(Y\left( t_{k} \right)\) können auftreten. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die Messwerte \(Y\left( t_{k} \right)\) Nettozählraten sind, bei denen von den entsprechenden Bruttozählraten derselbe Wert einer Untergrundzählrate \(R_{0}\) sowie die Netto-Blankzählrate \(R_{bl}\) subtrahiert wurden. Diese Kovarianzen – sie können intern aus einer Formel berechnet werden – sind besonders im Falle recht niedriger Nettozählraten zu berücksichtigen.
Im Falle der Nettozählraten (\(Y\left( t_{k} \right)\)) ist die Kovarianzformel zwischen zwei ihrer Werte gegeben durch:
\(cov\left( Y\left( t_{i} \right),\ \ \ Y\left( t_{k} \right) \right) = var\left( R_{0,i} \right) + var\left( R_{bl} \right)\) .
Dies wird im Programm intern verwendet, um die vollständige, von der Anpassungsroutine zu verwendende Kovarianzmatrix abzuleiten. In dieser Gleichung ist \(var\left( R_{0,i} \right)\) gleich null zu setzen, falls entweder \(R_{0,i}\) und \(R_{0,k}\) verschieden sind oder deren Unsicherheiten.
Hierbei ist zu erwähnen, dass für dieses Verfahren die Untergrundzählrate im speziellen input dialog for decay curves definiert werden kann: Für die Kurve kann eine individuelle Untergrundzählrate angegeben werden – dies kommt z. B. bei LSC-Messungen vor –, oder es kann ein einzelner Wert der Untergrundzählrate (\(R_{0}\)) für die ganze Kurve verwendet werden. \(R_{0}\) darf nur die detektorbezogene Untergrundkomponente enthalten.
Außerdem wird eine Zählrate \(R_{bl}\) benötigt, die sich auf eine chemische Blankanalyse bezieht, bei der die Detektor-Untergrundkomponente bereits subtrahiert ist. Daher wird \(R_{bl}\) als „Netto-Blankzählrate“ betrachtet; sie quantifiziert den Untergrund durch Chemikalien und Glasgeräte, die während einer Analyse verwendet werden. Das Symbol Rbl mit Wert und Unsicherheit ist Teil der Tabelle unter dem TAB „Values, uncertainties”, deren Werte durch den Linfit-Aufruf (s. weiter unten in diesem Thema) an diese numerische Routine übergeben werden.
For the mathematics see:
Festlegung des Modells: siehe Dialog Festlegung des Modells der Abklingkurve.
Nachdem der Linfit-Aufruf in den Gleichungen erfolgte, kann in diesem Dialog die WTLS-Variante selektiert werden.
Aktivierung der (multi-)linearen Least squares-Anpassung
Dies wird anhand zweier unterschiedlich komplexer Beispiele gezeigt.
Einfaches Beispiel:
Assumtion:
Anzahl der Ergebnisgrößen: 1; aus der LSQ-Anpassung erhält man als Ergebnis eine Nettozählrate Rn.
In dem Textfenster für Gleichungen wird an der Stelle, wo man die sonst die Nettozählrate Rn z.B. wie folgt eingibt,
Rn = Rg – R0 ,
die vorstehende Zeile durch folgende ersetzt:
Rn = Linfit(1, Rbl, HwzY90, Hwzlong, HwzAc228, tmess, tstart)
Linfit ist der Name der Prozedur, welche die gewünschte LSQ-Anpassung mit ihren dazugehörigen Dialogen aktiviert. Ihre Parameter sind:
1 Nr. der Variante dieser Messauswertungs-Aufgabe, für die diese Art der Anpassung verwendet werden soll; derzeit existiert nicht mehr als die vorliegende Variante der Auswertung einer Y-90-Abklingkurven-Analyse;
R0 Untergrundzählrate einschließlich Blank-Beiträgen, die von den gemessenen Y-90-Bruttozählraten subtrahiert wird, in \(s^{- 1}\);
t0 counting time of the background measurement, in \(s\);
HwzY90 half-live of Y-90, in \(s\)
Hwzlong Halbwertszeit eines länglebigeren Radionuklids, das zu einem (langsam abklingenden) Untergrund beiträgt, in \(s\); z. B. Th-234; wenn Hwzlong = 0 gesetzt wird, wird der zugehörige Abklingfaktor intern gleich 1 gesetzt
HwzAc228 Halbwertszeit des möglicherweise störenden Radionuklids Ac-228, in \(s\); dies kann auch einen Beitrag kurzlebiger Radon-Zerfallsprodukte simulieren
tmess Platzhalter für die Zähldauern der einzelnen, zu den Nettozählraten gehörenden Messungen
tstart Platzhalter für die Zeitdifferenzen zwischen dem Zeitpunkt der Y-90/Sr-90-Trennung und dem Beginn der einzelnen Messungen
Hinweis: Seit Version 2.4.24 sind im Linfit-Aufruf nur noch die drei Parameter Rbl, tmess und tstart anzugeben: Rn = Linfit(1, Rbl, tmess, tstart)
Nach dem Laden der Symbole aus den Gleichungen stehen die Symbole der Linfit-Funktion in der Liste der Symbole zur Verfügung. Im TAB „Werte, Unsicherheiten” müssen den Symbolen Rbl, HwzY90, Hwzlong und HwzAc228 Werte und Unsicherheiten zugewiesen werden, nicht jedoch tmess und tstart.
Bis auf eine Ausnahme dürfen für die hier angeführten Symbole auch andere Namen verwendet werden, sie müssen nur in der gesamten Symbolliste des Projekts definiert sein; diese Symbole sind als „global” gültig anzusehen.
Wichtig: Nur die Namen Rbl, tmess und tstart dürfen nicht verändert werden, auch nicht ihre Zuordnung zu der oben aufgeführten Bedeutung.
Nach dem Aufruf von Linfit hat Rn den Wert und die Unsicherheit des Fitparameters \(a_{1}\) zugeordnet bekommen.
Komplexeres Beispiel:
Assumtion:
Anzahl der Ergebnisgrößen: 3; aus der LSQ-Anpassung erhält man als Ergebnis die Fitparameter Fitp1, Fitp2 und Fitp3, die den Fitparametern \(a_{i}\) entsprechen, welche nun die Aktivitäten von Sr-89, Sr-90 und Sr-85 repräsentieren, in Bq. Dies ist dem Beispiel-Projekt DWD-LSC-3kanal-V2_DE.txp entnommen.
In dem Textfenster für Gleichungen wird an der Stelle, wo man die sonst die Nettozählrate Rn z.B. wie folgt eingibt,
Rn = Rg – R0,
die vorstehende Zeile durch folgende ersetzt:
rd = Linfit(1, Rbl, eSr85A, eSr85B, eSr85C, eSr90A, eSr90B, eSr90C, eSr89A, eSr89B, &
eSr89C, eY90A, eY90B, eY90C, lamSr85, lamSr90, lamSr89, lamY90, tmess, tstart )
seit Version 2.4.24 verkürzt zu: Rn = Linfit(1, Rbl, tmess, tstart).
Die Bedeutung der Symbole ist wie oben im „einfachen Beispiel” erläutert. Die Symbol-Namen Rbl, tmess und tstart und ihre Bedeutung dürfen nicht verändert werden. Die Symbole eNuklidX (insgesamt 9 Stück) bezeichnen Nachweiswahrscheinlichkeiten der verschiedenen Radionuklide in den Zählkanälen A, B oder C. Die Symbole lamNuklid bezeichnen die Zerfallskonstanten der drei Radionuklide.
Bemerkung
Neben den festen Symbolen Rbl, tmess und tstart, die in dem Aufruf von Linfit stehen müssen, sind die Namen weiterer Symbole nicht vorgegeben, auch nicht ihre Anzahl; sie müssen jedoch in der globalen Symbolliste vom Benutzer definiert werden. Sie müssen allerdings in den Definitionsgleichungen für die Funktionen \(X_{i}\left( t_{k} \right)\) verwendet werden; siehe dazu auch Abschnitt 5.11.
Eingabe der Daten der Abklingkurve siehe: Dialog „Eingabe der Abklingkurve“
Ansicht des Ergebnisses der LSQ-Anpassung der Abklingkurve
Hinweis zu Erkennungs- und Nachweisgrenzen bei linearer Entfaltung
