4.2. Beste Schätzwerte nach Bayes und Vertrauensgrenzen

Der bei der Auswertung für die Ergebnisgröße primär erhaltene Wert y und seine kombinierte Standardunsicherheit u(y) definieren Mittelwert und Standardabweichung einer Gaußverteilungsfunktion der möglichen Werte \(y^{'},\),

\(\frac{1}{u(y)\sqrt{2\pi}}\exp\left( - \frac{\left( y^{'} - y \right)^{2}}{2\ u^{2}(y)} \right)\)

die man bei der Bayes-Methode aus der Anwendung des Prinzips der maximalen Entropie erhält.

Abhängig vom Verhältnis u(y)/y kann es hierbei vorkommen, dass ein Teil dieser Kurve in den negativen Bereich fällt (\(y^{'}\) < 0). Nach der Bayes’schen Methode ergibt sich aus der Anwendung des „Modell-Priors”, dass diese Verteilungskurve nur für positive \(y^{'}\)-Werte (\(y^{'}\) z.B. Aktivitätswerte) größer als null sein soll. Die Verteilung wird also auf der linken Seite bei \(y^{'}\)= 0 abgeschnitten. Mit Hilfe dieser modifizierten (abgeschnittenen) Verteilungskurve lassen sich Erwartungswerte für modifizierte Werte von Mittelwert und Standardabweichung berechnen, welche als „beste Schätzwerte nach Bayes” bezeichnet werden. Das Integral über die modifizierte Gaußverteilungskurve von null bis unendlich habe den Wert \(\omega < 1\). Als Erwartungswerte ergeben sich:

mean:

\(\widehat{y} = y + \frac{u(y)\ exp\left( - \frac{y^{2}}{2\ u^{2}(y)} \right)}{\omega\sqrt{2\pi}}\) with \(\omega = \Phi\left( \frac{y}{u(y)} \right)\)

(\(\Phi\) ist die (kumulative) Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung)

Standardabweichung:

\(u\left( \widehat{y} \right) = \sqrt{u^{2}(y) - \left( \widehat{y} - y \right) \cdot \widehat{y}}\)

Dies garantiert, dass \(\widehat{y}\) immer einen positiven Wert hat.

Das probabilistisch symmetrische Überdeckungsintervall

Für den bestimmten Ergebniswert \(y\) und der Standardunsicherheit \(u(y)\) ist dieses Intervall durch die folgenden Grenzen gegeben:

\(y^{\vartriangleleft} = y - k_{p}u(y)\) with \(p = \omega(1 - \frac{\gamma}{2})\)

\(y^{\vartriangleright} = y + k_{p}u(y)\) with \(q = 1 - \frac{\omega\gamma}{2})\)

Zu dessen Herleitung wird die bei null abgeschnittene Normalverteilung zugrunde gelegt.

Das kürzeste Überdeckungsintervall

Dieses nicht mehr symmetrische Intervall ist wie folgt definiert:

\(y^{<} = y + k_{p}u(y)\) with \(p = (1 + \omega(1 - \gamma))/2\)

\(y^{>} = y - k_{p}u(y)\)

Im Falle von \(y^{<} < 0\) gilt stattdessen:

\(y^{<} = 0\)

\(y^{>} = y + k_{q}u(y)\) with \(q = 1 - \omega\gamma\)

Numerische Bestimmung dieser Intervallgrenzen bei MC-Simulation

Aus einer MC-Simulation einer Messgröße resultiert ein nach der Größe aufsteigendes Feld von z.B. \(N =\)10⁴ bis 10⁶ simulierten Messwerten \(y_{i}\). Zwischen den Werten \(y_{i}\) und dazugehörigen Werte der Wahrscheinlichkeit \(p_{i}\) besteht ein einfacher Zusammenhang:

\(p_{i} = \frac{i}{N}\) with \(\sum_{i = 1}^{N}{p_{i} = 1}\)

Damit kann zu einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit \(p_{x}\) der Index \(k_{x}\) des Wertes aus dem Feld ermittelt werden:

\(k_{x} = p_{x}N\) .

Der dazugehörige \(y\)-Wert der als Quantil gesuchten Intervallgrenze liegt dann zwischen den Werten \(y_{int(k_{x})}\) und \(y_{int\left( k_{x} \right) + 1}\) .

Das kürzeste Überdeckungsintervall zur Wahrscheinlichkeit \((1 - \gamma)\) wird innerhalb einer einfachen Schleife im Feld y(i) schematisch wie folgt gesucht:

imax = gamma*N
min_length = 1E+20
do i=1,imax
    q_left = y(i)
    q_right = y(int(N * (1 - i/N)))
    if (q_right - q_left < min_length) then
        min_length = q_right - q_left
        q_left_min = q_left
        q_right_min = q_right
    endif
enddo