4.6. Monte Carlo Simulation¶
Unter dem TAB “Resultate” kann zur Überprüfung des für die Ergebnisgröße y erhaltenen Werts und seiner Unsicherheit eine Monte Carlo Simulation gestartet werden.
Die Simulation erfolgt für eine gewählte (große) Zahl von Simulationen der Messung. Dazu werden für jede derjenigen Größen, die in der Symboleliste unter dem TAB „Equations” definiert und dort als unabhängig (u) gekennzeichneten Eingangsgrößen sind, simulierte Eingangswerte aus ihren entsprechenden Verteilungen (Normal-, Rechteck- oder Dreiecksverteilung) entnommen. Die zugrunde liegenden Einzelverteilungen wurden unter dem TAB „Values, uncertainties” festgelegt. Wenn dort die Low-Level-Anwendungen, (N+x)-Regel für Impulsanzahlen gewählt wurde, werden ihre zugehörigen Werte gemäß einer Gamma-Verteilung MC-gezogen; die Werte der aus den Impulsanzahlen abgeleiteten Zählraten sind dann ebenfalls Gamma-verteilt. Wenn alle diese Eingangsgrößen einen simulierten Wert erhalten haben, wird ein Wert der Ergebnisgröße – „der erste simulierte Wert von y” – gemäß den bereits definierten Gleichungen berechnet.
Aus der vielfachen Wiederholung dieses Vorgangs erhält man dann eine statistische Verteilung von Einzelwerten der Ergebnisgröße. Daraus wird ihr bester Schätzwert als arithmetischer Mittelwert und aus der Streuung die Standardabweichung der Einzelwerte der Ergebnisgröße berechnet. Derzeit werden bei der Methode nur Normal-, Rechteck- und Dreiecksverteilungen der einzelnen Größen berücksichtigt (siehe Ermittlung der MC-Verteilungen und daraus abgeleiteter Kenngrößen im Detail).
Der große Vorteil dieser Methode besteht darin, dass partielle Ableitungen nach den unabhängigen Größenwerten nicht benötigt werden!
[Hinweis]: der verwendete Zufallszahlengenerator hat eine Periode von etwa \(10^{18}\).
Das eben beschriebene Vorgehen gilt für den Fall, dass zwischen den als unabhängig deklarierten Größen keinerlei Korrelationen vorliegen. Hat man jedoch im TAB „Werte, Unsicherheiten” für bestimmte Paare von korrelierenden Größen Kovarianzen festgelegt, werden den Paaren beim „Würfeln” untereinander korrelierte Werte zugewiesen, entsprechend der Größe ihrer Kovarianz.
Wichtiger Hinweis zu diesem Thema: Seit der UncertRadio-Version 0.05 (2007/11) wurde diese Methode zur Erzeugung korrelierter Variablen vollständig an Lehrbuchmethoden angepasst, bei denen Matrixmethoden verwendet werden (Stichwort: „Gauß-verteilte Zufallszahlen in n Dimensionen”; S. Brandt, Datenanalyse; V. Blobel und E. Lohrmann, Statistische und numerische Methoden der Datenanalyse; sowie der Entwurf des neuen Supplement 1 des ISO GUM). Dies lässt sich durch Ausprobieren der UncertRadio-Beispielprojektdateien Kessel-2a-2006_EN.txp und Kessel-2b-2006_EN.txp aus der Veröffentlichung von Kessel et al. (2006) nachprüfen (siehe auch: Meaning of the TAB “Uncertainty budget”).
Zwischenergebnisse der MC-Simulation, zum Teil als Tabellen, werden in der separaten Datei MC_Tables.txt zusammengefasst.
Im Allgemeinen wird man feststellen, dass das mit der MC-Methode erhaltene Ergebnis (Wert und Unsicherheit der Ergebnisgröße y) gut mit dem nach der analytischen Methode erhaltenen Ergebnis übereinstimmt. Somit ist die MC-Methode eine relativ einfache und elegante Alternative zu dem sehr viel aufwendigeren analytischen Verfahren.
Was kann man aus Abweichungen zwischen beiden Methoden folgern?
Kommt bei Anwendung der MC-Methode ein vom analytischen Verfahren abweichendes Ergebnis heraus, könnte man auf einen Fehler des Programmteils für die analytische Methode schließen. Dies muss aber nicht immer die richtige Folgerung sein!
Was die geschilderte MC-Methode tatsächlich ausführt, kann man auch als eine „Fortpflanzung von Verteilungen” interpretieren. Dies bedeutet, dass damit im Prinzip für die Ergebnisgröße y der Erwartungswert, also das folgende n-fache Integral, abgeschätzt wird:
Hierin bezeichnet \(F\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \right)\) die zur analytischen Berechnung von y zusammengefassten Gleichungen (d.h. die Formel, mit der man y üblicherweise berechnet) und \(\varphi_{i}\left( x_{i} \right)\) die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der n als unabhängigen deklarierten Messgrößen bzw. Parameter \(x_{i}\). Die Breiten der \(\varphi_{i}\left( x_{i} \right)\) werden durch die dazugehörigen Messunsicherheiten \(u\left( x_{i} \right)\) charakterisiert. Eine wesentliche Annahme bei der herkömmlichen Fortpflanzung der Unsicherheiten besteht darin, dass die Unsicherheiten der \(x_{i}\) „klein sein sollen”. In diesem Falle werden aus den Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen \(\varphi_{i}\left( x_{i} \right)\) näherungsweise Delta-Funktionen, so dass sich das o. a. n-fache Integral zum herkömmlich berechneten Wert \(F\left( x_{1},x_{2},\ldots,x_{n} \right)\) der Ergebnisgröße y selbst vereinfacht. In diesem Sinne können Abweichungen zwischen beiden Verfahren im Wert und der Unsicherheit der Ergebnisgröße auftreten, wenn einige der beteiligten Messunsicherheiten „nicht klein sind” und diese zudem noch im Nenner einer Gleichung stehen (Nicht-Linearität).
Die Sammlung der Projektdateien enthält Beispiele, bei denen die diskutierte Abweichung zwischen beiden Verfahren signifikant ist:
Projektdatei |
Besonderheit |
|---|---|
ISO-Beispiel-1a_DE.txp, ISO-Beispiel-1b_DE.txp |
Darin verursacht der Selbstabsorptionsfaktor f der Alphastrahlung, dem eine vergleichsweise breite Rechteck-Verteilung zugeordnet wurde und der im Nenner steht, diesen Effekt. |
Neutron-Dose-Cox-2006_DE.txp |
Hierin verursacht die im Nenner stehende feldspezifische Korrektion K mit einer signifikant breiten Rechteckverteilung praktisch den gleichen Effekt wie im vorstehenden Beispiel: die erhaltene Verteilung ist deutlich asymmetrisch. |
Calibration-of-weight-Cox-2001_EN.txp |
In diesem Beispiel erhält man mit der MC-Methode eine signifikant größere Messunsicherheit. Drei der beteiligten Messgrößen ist eine Rechteckverteilung zugeordnet. |
Wuebbeler-Ex1_DE.txp |
Eine nichtlineare Modellfunktion in Verbindung mit großen Unsicherheiten der normalverteilten Eingangswerte führen zu einer schiefsymmetrischen Verteilung der Ergebnisgröße |
Wuebbeler-Ex2_DE.txp |
Rechteck-verteilte Eingangsgrößen führen zu einer trapezförmigen Verteilung der Ergebnisgröße |
