4.12. Bruttogröße: Varianzinterpolation für einen Mittelwert¶
4.12.1. Definitions¶
In Anlehnung an das Kapitel Mathematischer Hintergrund werden folgende Definitionen für die Mittelwerte und deren Varianzen verwendet:
\(\bar{x}_{g} = \frac{1}{n_{g}}\sum_{i=1}^{n_{g}}x_{gi}\) |
\(\bar{x}_{b} = \frac{1}{n_{b}}\sum_{i=1}^{n_{b}}x_{bi}\) |
\(s_{g}^{2} = \frac{1}{n_{g}-1}\sum_{i=1}^{n_{g}}\left(x_{gi} - \bar{x}_{g}\right)^{2}\) |
\(s_{b}^{2} = \frac{1}{n_{b}-1}\sum_{i=1}^{n_{b}}\left(x_{bi} - \bar{x}_{b}\right)^{2}\) |
\(f_{g} = \frac{n_{g}-1}{n_{g}-3}\frac{1}{n_{g}}\) |
\(f_{b} = \frac{n_{b}-1}{n_{b}-3}\frac{1}{n_{b}}\) |
\(u^{2}(\bar{x}_{g}) = f_{g}\,s_{g}^{2}\) |
\(u^{2}(\bar{x}_{b}) = f_{b}\,s_{b}^{2}\) |
Für diejenigen Eingangsgrößen, denen Mittelwerte zugeordnet sind, wird die t-Verteilung als Verteilungstyp genommen. Die möglichen Werte, die den drei Parametern (Anzahl der Freiheitsgrade \(\upsilon\), Mittelwert \(\widehat{\mu}\), Standardunsicherheit \(\widehat{\sigma}\) (scaling)) der t-Verteilung zugeordnet werden können, sind in der folgenden Tabelle für das Beispiel der Bruttogröße (Index g) angegeben; die Tabelle für die Untergrundgröße (Index b) sähe ähnlich aus.
Verfahren A |
Verfahren B |
Verfahren C |
|
|---|---|---|---|
t-Verteilung |
t-Verteilung / Normalverteilung |
Normalverteilung |
|
\(\upsilon\) |
\(n_{g} - 1\) |
\(m - 1\) |
\(n_{g} - 1\) |
\(\widehat{\mu}\) |
\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} n_{i}\) |
\(\frac{1}{n_{g}} \sum_{i=1}^{n_{g}} x_{gi}\) |
\(\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} n_{i}\) |
\(\widehat{\sigma}\) |
\(\sqrt{f_{g} s_{g}^{2}}\) |
\(\sqrt{\left( \frac{\overline{n}}{m} + f_{g} \left( \overline{n} + s_{n}^{2} \right) \right)}\) |
\(\sqrt{f_{g} s_{g}^{2}}\) |
\(f_{g}\) |
\(\frac{n_{g} - 1}{n_{g} - 3} \frac{1}{n_{g}}\) |
\(\frac{m - 1}{m - 3} \frac{1}{m}\) |
\(\frac{1}{n_{g}}\) |
(\(\overline{n}\ \) und \(s_{n}^{2}\) werden entsprechend \(\overline{x}\ \) und \(s_{x}^{2}\) berechnet.)
Notes:
Die Verteilung zum Mittelwerttyp „Impulsanzahl” ist eine Überlagerung einer „shifted” t-Verteilung (Mittelwert \(\overline{n}\)) und einer Normalverteilung (Mittelwert 0); siehe Prinzip der MC-Simulation. Der Fall in der dritten Spalte wird im Programm intern im Modus „normalverteilt” berechnet, auch dann, wenn in UR der betreffenden Variablen die t-Verteilung zugeordnet wurde.
Die Varianz einer Summe einer t-verteilten und einer normal-verteilten Größe ist nur dann durch die Summe ihrer Varianzen gegeben, wenn mehr als etwa 5 Werte der t-verteilten Größe vorliegen.
Wenn die Untergrundgröße \(x_{b}\) nicht als Mittelwert behandelt wird, dann wird das dazugehörige \(f_{b} = 1\) gesetzt.
4.12.2. Prinzip der MC-Simulation¶
Zur theoretischen Behandlung des Verfahrens B aus Tabelle 2 wird auf den Anhang C, insbesondere C.2, bei Weise et. al. (2013) verwiesen. Dort wird gezeigt, wie der Ausdruck für die Varianz \(u^{2}(\overline{n})\) des Mittelwerts \(\overline{n}\) der Impulsanzahlen
herzuleiten ist. Hierin ist der erste Term, \(\frac{\overline{n}}{m},\) als ein Beitrag der Zählunsicherheit zu verstehen. Der ganze zweite Term in der Gleichung ist als ein t-verteilter Beitrag zusätzlicher zufälliger Einflüsse zur Varianz zu interpretieren.
Für eine Normalverteilung genügt die Größe
einer Student-t-Verteilung mit \((m - 1)\) Freiheitsgraden, Erwartungswert null und Varianz \((m - 1)/(m - 3)\); \(\mu\) ist der Erwartungswert von \(\overline{n}\). Durch Auflösen dieser Gleichung nach \(\mu\) entsteht die Gleichung
Diese wird als Rezept zur Erzeugung von t-verteilten Zufallszahlen verwendet. Mit standard-t-verteilten Zufallswerten \(t_{rnd}\) werden zur Simulation der Verteilung von \(u^{2}\left( \overline{n} \right)\) nach Gl. (4.12.1) die MC-Werte wie folgt erzeugt.
With
random values with mean \(\overline{n}\) and variance
are obtained; in a second step normal-distributed random values
werden hierzu addiert, wobei \(z_{rnd}\) standard-normalverteilte Zufallswerte sind:
Dieser Schritt trägt nur zur Verbreiterung der Verteilung bei.
Im Falle des einfacheren Verfahrens A wird allein die Gleichung (2; \(t\) wird durch \(t_{rnd}\) ersetzt) zur Erzeugung von Zufallszahlen verwendet.
Notes:
Beim Würfeln t-verteilter Werte entsteht der multiplikative Faktor \((m - 1)/(m - 3)\), er darf also nicht in (4.12.3) und (4.12.4) vorgegeben werden.
Im TAB “Values, Uncertainties” in UncertRadio werden diejenigen Unsicherheiten \(u(x)\) angezeigt, die der Zeile für \(\widehat{\sigma}\) in Tabelle 2 entsprechen. Vor der Erzeugung von MC-Werten für einen angenommenen Wert \(\widetilde{y}\) gemäß Gln. (4.12.3) oder (4.12.4) wird der Wert \(s_{n}^{2}\) aus dem zugehörigen \(u(x)\) durch Umkehren der Gleichungen (4.12.3) oder (4.12.4) berechnet.
Aus der Unsicherheit \(u(.)\) berechnet man:
Eq. (4.12.3):
Eq. (4.12.4):
[Besonderheit bei der MC-Simulation von Erkennungs- und Nachweisgrenze:]
In diesem Fall ist der Faktor \(\sqrt{(m - 1)/(m - 3)\ }\) für die Bruttozählrate bereits in dem Ausdruck für die nach Gl. (11, unten) variierte Unsicherheit der Bruttozählrate enthalten. Wie im obigen Hinweis schon angedeutet, entsteht der Faktor zusätzlich durch das Würfeln mit \(t_{rnd}\) : das ist die Standardunsicherheit der Standard-\(t\)-Verteilung. Um die doppelte Berücksichtigung des Faktors zu verhindern, wird in den Gl. (4.12.3) bis (4.12.7) einfach \(t_{rnd}\) durch \(t_{rnd}/\sqrt{(m - 1)/(m - 3)\ }\) ersetzt.
4.12.3. Verfahren mit unbekannten zufälligen Einflüssen¶
Es wird unterstellt, dass bei Wiederholungen von Messungen unbekannte zufällige Einflüsse vorliegen, die nicht klein sind und zu einer größeren Streuung führen. Dann werden Messreihen zur Bestimmung der Brutto- und der Nulleffektzählrate (bzw. der Brutto- und Untergrundgrößen) durchgeführt.
4.12.3.1. Interpolation mit Hilfe der Bruttozählrate¶
Wird der Wert der Bruttozählrate Rg bzw. der Bruttogröße xg mit Hilfe eines Mittelwerts einer Messreihe ermittelt, kann die dazugehörige Unsicherheit nicht mehr mit z.B. u(Rg)=sqrt(Rg/t) berechnet werden. Stattdessen ist eine Interpolation zwischen zwei bekannten Werten der Varianz erforderlich. Nach ISO 11929 erfolgt dies für einen angenommenen Wert \(\widetilde{y}\) der Ergebnisgröße so, dass zwischen den Varianzen \(u^{2}(y)\) des primären Messergebnisses und der Varianz \(u^{2}(\widetilde{y} = 0)\) interpoliert wird (in diesem Kapitel stehen die Indices g und b für „brutto” und „Untergrund”):
In UncertRadio bezieht sich eine solche Interpolation jedoch auf entsprechende zwei Varianzwerte der Bruttogröße \({\widetilde{x}}_{g}\). Dieser Fall kann aus dem in Gl. (4.12.10) abgeleiteten Fall gewonnen werden. Es wird ein Messmodell mit Größen \({\widetilde{\mathbf{x}}}_{\mathbf{g}}\mathbf{,}\mathbf{\ \ }\mathbf{x}_{\mathbf{b}}\mathbf{\ ,}\mathbf{x}_{\mathbf{int}}\) (brutto, Untergrund, Störung) angenommen, in dem sowohl \({\widetilde{x}}_{g}\) als auch \(x_{b}\) als Mittelwerte behandelt werden:
Dafür gilt
Setzt man die rechten Seiten von (4.12.1) und (3) gleich, folgt:
Mit der Ersetzung
It follows:
Mit einem Ausdruck für \(u^{2}(0)\):
kann nun der Ausdruck für die Varianz \(u^{2}({\widetilde{x}}_{g})\) hergeleitet werden.
\(w^{2}u^{2}\left( {\widetilde{x}}_{g} \right) = w^{2}2\left( u^{2}\left( x_{0} \right) + u^{2}(x_{int}) \right)\left( 1 - \widetilde{q} \right) + u^{2}(y)\widetilde{q} - w^{2}u^{2}\left( x_{0} \right) - w^{2}u^{2}\left( x_{int} \right) - {\widetilde{R}}_{n}^{2}u^{2}(w)\)
\(u^{2}\left( {\widetilde{x}}_{g} \right) = 2\left( u^{2}\left( x_{0} \right) + u^{2}(x_{int}) \right)\left( 1 - \widetilde{q} \right) + \frac{u^{2}(y)}{w^{2}}\widetilde{q} - u^{2}\left( x_{0} \right) - u^{2}\left( x_{int} \right) - {\widetilde{R}}_{n}^{2}u_{rel}^{2}(w)\)
\(u^{2}\left( {\widetilde{x}}_{g} \right) = 2\left( u^{2}\left( x_{0} \right) + u^{2}(x_{int}) \right) - 2\left( u^{2}\left( x_{0} \right) + u^{2}(x_{int}) \right)\widetilde{q} + \frac{u^{2}(y)}{w^{2}}\widetilde{q} - u^{2}\left( x_{0} \right) - u^{2}\left( x_{int} \right)\) \(- {\widetilde{R}}_{n}^{2}u_{rel}^{2}(w)\)
\(u^{2}\left( {\widetilde{x}}_{g} \right) = \left( u^{2}\left( x_{0} \right) + u^{2}\left( x_{int} \right) \right) - 2\left( u^{2}\left( x_{0} \right) + u^{2}\left( x_{int} \right) \right)\widetilde{q} + \frac{u^{2}(y)}{w^{2}}\widetilde{q}\ - {\widetilde{R}}_{n}^{2}u_{rel}^{2}(w)\)
Setting now \({\widetilde{R}}_{n}^{2} = {\widetilde{q}}^{2}R_{n}^{2}\):
Für den programm-internen Zweck werden in dieser Gleichung hierin noch \(y\) und \(u^{2}(y)\) ersetzt.
\(\frac{u^{2}(y)}{w^{2}} = u^{2}\left( x_{g} \right) + u^{2}\left( x_{0} \right) + u^{2}\left( x_{int} \right){+ \left( x_{g} - x_{0} - x_{int} \right)}^{2}u_{rel}^{2}(w)\)
\(\frac{u^{2}(y)}{w^{2}} = u^{2}\left( R_{n} \right) + R_{n}^{2}u_{rel}^{2}(w)\)
Für die letzte runde Klammer in (4.12.18) folgt damit:
Einsetzen in (4.12.18) ergibt:
Die Gleichung (4.12.18) bzw. (4.12.20) stellt im Prinzip die Gleichung dar, die vom Anwender in UncertRadio in abgewandelter Form in der Tabelle „Werte, Unsicherheiten” in die „grüne Zelle” einzutragen wäre. Das würde die zusätzliche Definition von diversen Hilfsgrößen in UncertRadio erfordern. Das schon vorhandene Tool für Mittelwerte nach Kapitel Abschnitt 4.9 (siehe auch Abschnitt 4.12) eröffnet jedoch die Möglichkeit, diese Werte für diese Hilfsgrößen programmintern zu ermitteln.
In Gleichung (4.12.20) werden allein der Variablen \({\tilde{x}}_{g}\) vom Programm im Rahmen der Iterationen zur Erkennungs- und Nachweisgrenzen-Berechnung Werte direkt zugeordnet. Die fixierten Werte \(n_{g},n_{b},x_{g},x_{b},s_{g},f_{g},s_{b},f_{b}\) werden aus den beiden Tabellen in 6.12.1 bzw. den intern für die Mittelwertbehandlung angelegten Datenfeldern entnommen. Die ebenfalls fixen Werte für \({w,x_{int},u}^{2}(x_{int})\) werden intern aus der UncertRadio-Tabelle „Werte, Unsicherheiten” gelesen.
Somit entfällt das Eintragen einer Formel in die „grüne Zelle” für die Standardabweichung der Bruttogröße, wenn der Größenwert als Mittelwert bestimmt wird. Dazu muss für die Größensymbole \(n_{g}\) und \(n_{b}\) die t-Verteilung als Verteilungstyp selektiert werden.
Beispiel-Projekte: ISO-Beispiel-2a_DE.txp (nach altem UR-Verfahren)
ISO-Beispiel-2a_V2_DE.txp (nach neuem UR-Verfahren)
Äquivalenz der linearen Interpolationsalternativen
Die gemäß ISO 11929 anzuwendende Interpolation der Varianzen der Ergebnisgröße soll linear sein wie in Gl. (4.12.1). Da sich die Interpolation in diesem Abschnitt stattdessen auf Varianzen der Bruttozählrate bezieht, muss geprüft werden, ob die interpolierten Werte gemäß dieser zwei Interpolationsvarianten übereinstimmen. Dies wurde mit einem kleinen R-Programm, getrennt für die Verfahren A und B, geprüft.
4.12.3.2. Anwendung auf Verfahren A („nicht Impulsanzahl”)¶
Werden die Varianzen \(u^{2}(x_{g})\) und \(u^{2}(x_{b})\) gemäß Abschnitt 4.12 als Produkte \(f_{g}s_{g}^{2}\) und \(f_{b}s_{b}^{2}\) geführt, so ergibt sich für den Modellfall \(y = w(x_{g} - x_{b} - xint)\) folgendes Ergebnis für die interpolierte Varianz der Bruttogröße \({\widetilde{x}}_{g}\):
Testen der Varianzinterpolation:
(Programm Var_intpol_Ex13.R, zu Beispiel 13 aus ISO 11929-4)
Dazu wurden folgende Formeln für \(u^{2}\left( {\tilde{x}}_{g} \right)\) herangezogen, um nach Einsetzen in die Gl. (4.12.12) mit den Werten aus Gl. (4.12.10) verglichen zu werden (\(x_{int}\) wurde null gesetzt):
var_Rg_tilde_a = fg*(sb^2) + uxint^2 +
q_tilde \* (fg*(sg^2-sb^2)- uxint^2 + xn^2*(uw/w)^2*(1- q_tilde) )
var_Rg_tilde_b = ((fg+fb)*sb^2 + 2*uxint^2)*(1. - q_tilde) +
q_tilde*( (uym/w)^2) - fb*sb^2 - uxint^2 - q_tilde^2*(ym/w)^2*(uw/w)^2
q_tilde = (xg_tilde – xb - xint) / (xg – xb - xint)
Mit den hierin verwendeten Werten:
sg= 71.71839 sb= 5.895336 fg= 0.03857143 fb= 0.04012346
xgtilde= 75.704 q_tilde= 2.542306e-06
xg= 192.25 uxg= 14.08521 xb= 75.7037 uxb= 1.180885
ym= 116.5463 uym= 37.71288 uy0= 1.653796
und der Gl. (6) zur Berechnung von xg_tilde aus y_tilde wurden für 11 Werte von ytilde, von 0 bis 116,54, folgende Werte berechnet:
Index |
y_tilde |
xg_tilde |
var_xg_tilde_a |
var_xg_tilde_b |
var_y_tilde_lin aus Gl. (5); |
varytilde2 |
|---|---|---|---|---|---|---|
[1,] |
0.00000 |
75.70370 |
1.340549 |
1.340549 |
2.73504 |
2.73504 |
[2,] |
11.65463 |
87.35833 |
131.068433 |
131.068433 |
144.68766 |
144.68766 |
[3,] |
23.30926 |
99.01296 |
236.346847 |
236.346847 |
286.64028 |
286.64028 |
[4,] |
34.96389 |
110.66759 |
317.175789 |
317.175789 |
428.59290 |
428.59290 |
[5,] |
46.61852 |
122.32222 |
373.555262 |
373.555262 |
570.54552 |
570.54552 |
[6,] |
58.27315 |
133.97685 |
405.485263 |
405.485263 |
712.49814 |
712.49814 |
[7,] |
69.92778 |
145.63148 |
412.965795 |
412.965795 |
854.45075 |
854.45075 |
[8,] |
81.58241 |
157.28611 |
395.996855 |
395.996855 |
996.40337 |
996.40337 |
[9,] |
93.23704 |
168.94074 |
354.578446 |
354.578446 |
1138.35599 |
1138.35599 |
[10,] |
104.89167 |
180.59537 |
288.710565 |
288.710565 |
1280.30861 |
1280.30861 |
[11,] |
116.54630 |
192.25000 |
198.393214 |
198.393214 |
1422.26123 |
1422.26123 |
Es sind keine Unterschiede zwischen den zwei Varianz-Werten der Bruttozählrate (Spalten 3, 4) festzustellen. Gleiches gilt auch für die nach den Gleichungen (4.12.10) und (4.12.12) berechneten Varianzen der Ergebnisgröße (Spalten 5, 6).
Damit ist die Äquivalenz der beiden verglichenen Interpolationsverfahren verifiziert.
4.12.3.3. Anwendung auf Verfahren B („Impulsanzahl, mit Einfluss”)¶
Für das Modell \(y = w(x_{g} - x_{b} - x_{int})\) werden nach Gl. (4.12.1) die Varianzen \(u^{2}(x_{g})\) und \(u^{2}(x_{b})\) durch folgende Formeln ersetzt:
with
\(\frac{u^{2}\left( {\overline{n}}_{g} \right)}{t_{g}^{2}} = \frac{1}{t_{g}^{2}}\left( \frac{{\overline{n}}_{g}}{m_{g}} + f_{g}{({\overline{n}}_{g} + s}_{g}^{2}) \right)\) ; \(\frac{u^{2}\left( {\overline{n}}_{b} \right)}{t_{b}^{2}} = \frac{1}{t_{b}^{2}}\left( \frac{{\overline{n}}_{b}}{m_{b}} + f_{b}{({\overline{n}}_{b} + s}_{b}^{2}) \right)\)
Testen der Varianzinterpolation:
(Programm Var_intpol_Ex14.R, zu Beispiel 14 aus ISO 11929-4)
Dazu wurden folgende Formeln für \(u^{2}\left( {\widetilde{x}}_{g} \right)\) herangezogen, um nach Einsetzen in Gl. (7) mit den Werten aus Gl. (5) verglichen zu werden (\(x_{int}\) wurde null gesetzt):
var_Rg_tilde_a = (un0_mean/t0)^2 + uxint^2 +
q_tilde \* ((ung_mean/tg)^2-(un0_mean/t0)^2 - uxint^2 +
Rn^2*(uw/w)^2*(1- q_tilde) )
var_Rg_tilde_b = ((un0_mean/t0)^2 + uxint^2) \* (1. - 2.*q_tilde) +
q_tilde*( (uym/w)^2 - q_tilde*(ym/w)^2*(uw/w)^2 )
var_Rg_green = urbt^2 + (uRg^2 - urbt^2)*(Rg_tilde-rbt)/(Rg-rbt) +
(uw/w)^2*(Rg_tilde-rbt)*(Rg-Rg_tilde)
with
q_tilde = (Rg_tilde - R0 - xint) / (Rg - R0 - xint)
Rg_tilde = ytilde/w + un0_mean/t0 + xint
rbt = R0 + xint; urbt = sqrt(uR0^2 + xint^2)
Mit var_Rg_green ist eine früher in der „grünen” Zelle in UncertRadio verwendete Formel bezeichnet.
Mit den hierin verwendeten Werten:
R0= 0.02723333 u(R0)= 0.002929202 Rg= 0.06798667 u(Rg)= 0.006185528
Rn= 0.04075333 w= 34.39972 uw= 2.786688 ym= 1.401903 uym= 0.261393
uy0= 0.1425014
Dataset |
y_tilde |
var_Rg_tilde_a |
var_Rg_tilde_b |
var_Rg_tilde_green |
|---|---|---|---|---|
[1,] |
0.0000000 |
8.580222e-06 |
8.580222e-06 |
8.580222e-06 |
[2,] |
0.1401903 |
1.252920e-05 |
1.252920e-05 |
1.252920e-05 |
[3,] |
0.2803807 |
1.626019e-05 |
1.626019e-05 |
1.626019e-05 |
[4,] |
0.4205710 |
1.977321e-05 |
1.977321e-05 |
1.977321e-05 |
[5,] |
0.5607614 |
2.306823e-05 |
2.306823e-05 |
2.306823e-05 |
[6,] |
0.7009517 |
2.614528e-05 |
2.614528e-05 |
2.614528e-05 |
[7,] |
0.8411421 |
2.900434e-05 |
2.900434e-05 |
2.900434e-05 |
[8,] |
0.9813324 |
3.164542e-05 |
3.164542e-05 |
3.164542e-05 |
[9,] |
1.1215228 |
3.406851e-05 |
3.406851e-05 |
3.406851e-05 |
[10,] |
1.2617131 |
3.627363e-05 |
3.627363e-05 |
3.627363e-05 |
[11,] |
1.4019035 |
3.826076e-05 |
3.826076e-05 |
3.826076e-05 |
Es sind keine Unterschiede zwischen den jeweils drei Varianz-Werte festzustellen.
In der folgenden Tabelle werden die für jeden Wert ytilde berechneten Werte
var_y_tilde_lin aus Gl. (4.12.1);
Rg_tilde (aus der Umkehrung von Gl. (6),
var_Rg_tilde (das obige var_rg_tilde_b) ,
varytilde2 (aus Einsetzen von var_Rg_tilde in Gl. (7),
ratio (das Verhältnis varytilde2 / vary_tilde_lin)
Dataset |
y_tilde |
var_y_tilde_lin aus Gl. (5); |
Rg_tilde |
var_Rg_tilde |
varytilde2 |
ratio |
|---|---|---|---|---|---|---|
[1,] |
0.0000000 |
0.02030666 |
0.02723333 |
8.580222e-06 |
0.02030666 |
1 |
[2,] |
0.1401903 |
0.02510862 |
0.03130867 |
1.252920e-05 |
0.02510862 |
1 |
[3,] |
0.2803807 |
0.02991058 |
0.03538400 |
1.626019e-05 |
0.02991058 |
1 |
[4,] |
0.4205710 |
0.03471254 |
0.03945933 |
1.977321e-05 |
0.03471254 |
1 |
[5,] |
0.5607614 |
0.03951451 |
0.04353467 |
2.306823e-05 |
0.03951451 |
1 |
[6,] |
0.7009517 |
0.04431647 |
0.04761000 |
2.614528e-05 |
0.04431647 |
1 |
[7,] |
0.8411421 |
0.04911843 |
0.05168533 |
2.900434e-05 |
0.04911843 |
1 |
[8,] |
0.9813324 |
0.05392039 |
0.05576067 |
3.164542e-05 |
0.05392039 |
1 |
[9,] |
1.1215228 |
0.05872235 |
0.05983600 |
3.406851e-05 |
0.05872235 |
1 |
[10,] |
1.2617131 |
0.06352432 |
0.06391133 |
3.627363e-05 |
0.06352432 |
1 |
[11,] |
1.4019035 |
0.06832628 |
0.06798667 |
3.826076e-05 |
0.06832628 |
1 |
Damit ist die Äquivalenz der beiden verglichenen Interpolationsverfahren verifiziert.
4.12.4. Verfahren mit bekannten zufälligen Einflüssen¶
Es wird angenommen, dass wiederholte Messungen unbekannten zufälligen Einflüssen unterliegen, die klein sind. Weiter wird angenommen, dass die Brutto-, Untergrund- und anderen Impulsanzahlen auf gleiche Weise beeinflusst werden, auch im Fall verschiedener Messungen bei gleichen Messbedingungen. Mit einer Referenzanalyse, d. h. mit einer größeren Zahl \(m\) von Messungen einer Probe (die einen Index r erhält), kann der unbekannte Einfluss durch den Parameter \(\vartheta\) quantifiziert werden, der auch auf die übrigen beteiligten Messgrößen wie Brutto- und Untergrund-Impulsanzahlen angewendet wird.
Der Parameter \(\vartheta\) wurde bereits in Abschnitt 4.9 eingeführt. Er wird aus dem Referenz-Datensatz ermittelt und auf die Unsicherheitsrechnungen der übrigen Impulsanzahlen (Index x) angewendet:
\(u^{2}({\overline{n}}_{x}) = \left( {\overline{n}}_{x} + \vartheta^{2}{\overline{n}}_{x}^{2} \right)/m_{x}\)
bzw. für die Brutto- und Nulleffektimpulsanzahlen bzw. eine im Rahmen der Nachweisgrenzen-Iteration angenommene Impulsanzahl \({\widetilde{n}}_{g}\):
Mit der Anwendung des Werkzeugs für Mittelwerte (Verwendung von Datensätzen für Mittelwert und Varianz; siehe auch Definitions) stehen die zur Berechnung von \(\vartheta\) nötigen Daten, aber auch die sich auf mittelwertbezogene Datensätze beziehenden Daten innerhalb des Programms zur Verfügung. Daher sind die den Gleichungen (4.12.23), (4.12.24) und (4.12.25) entsprechenden Formeln leicht zu programmieren und sind Teil des Programms. Das bedeutet, im Gegensatz zu früheren UncertRadio-Versionen, dass es für den Benutzer nicht mehr notwendig ist, Unsicherheitsformeln unter dem TAB “Values, Uncertainties” einzugeben; die Einführung weiterer Hilfsgrößen ist ebenfalls nicht mehr notwendig.
Von den in UR aufgenommenen Datensätzen muss zusätzlich der Datensatz der Referenzmessungen gekennzeichnet werden, aus dem die Größe \(\vartheta\) abzuleiten ist. Das erfolgt mit einem Combobox-Feld in dem in Anwendung von Mittelwerten in UncertRadio gezeigten Dialog.
Beispiel-Projekte: ISO-Beispiel-2b_DE.txp, Mittelwert-theta_DE.txp (nach altem UR-Verfahren)
ISO-Beispiel-2b_V2_DE.txp (nach neuem UR-Verfahren)
