4.1.3. Applications in UR

Im Falle der linearen Entfaltung liegen mehrere Gleichungen des Typs

\(x_{i} = \sum_{k = 1}^{n}{A_{k,i}y_{k}}\) ,

vor, oder in Matrixschreibweise (A enthält die \(X_{i}\left( t_{k} \right)\)-Terme):

\(\mathbf{x} = \mathbf{A\ y}\)

In diesem Falle stehen die Ergebnisgrößen Y auf der rechten Seite und die Eingangsgrößen auf der linken Seite der Gleichung. Das lineare Least squares-Verfahren liefert als Auflösung dieses Systems von Gleichungen bekanntlich:

\[\mathbf{y =}\mathbf{U}_{\mathbf{y}}\mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{U}_{\mathbf{x}}^{- 1}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\ x}\]
\[\mathbf{U}_{\mathbf{y}}\mathbf{=}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{U}_{\mathbf{x}}^{\mathbf{- 1}}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\ A} \right)^{- 1}\]

Im nächsten Schritt wird davon ausgegangen, dass die Elemente der Matrix A, bei der Analyse von Abklingkurven z.B. zusammengesetzte Abklingfaktoren, nun weitere Parameter (als Vektor p mit Kovarianzmatrix \(\mathbf{U}_{\mathbf{p}}\) bezeichnet) enthalten können, die auch mit Unsicherheiten behaftet sind. Dann kann mit einer Transformationsmatrix Q der numerisch berechneten partiellen Ableitungen \(Q_{i,k} = \partial Y_{i}/\partial p_{k}\) die erweiterte Kovarianzmatrix \(\mathbf{U}_{\mathbf{y}}\) berechnet werden (der Vektor y erfährt dabei keine Modifikation):

\[\mathbf{U}_{\mathbf{y}}\mathbf{=}\left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{U}_{\mathbf{x}}^{\mathbf{- 1}}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\ A} \right)^{- 1}\mathbf{+}\mathbf{Q\ }\mathbf{U}_{\mathbf{p}}\mathbf{\ }\mathbf{Q}^{\mathbf{T}}\]

Für jede einzelne Kombination \(y_{i}\left( p_{k} \pm \mathrm{\Delta}p_{k} \right)\) (mit \(\mathrm{\Delta}p_{k} = 1 \bullet \ 10^{- 6}p_{k}\)) in der numerischen Approximation für die partielle Ableitung

\[Q_{ik} = \frac{\partial y_{i}}{\partial p_{k}} \approx \frac{y_{i}\left( p_{k} + \mathrm{\Delta}p_{k} \right) - y_{i}\left( p_{k} \right)}{\mathrm{\Delta}p_{k}}\]

müssen dazu die Matrix A, der Ergebnisvektor y und seine Kovarianzmatrix \(\mathbf{U}_{\mathbf{p}}\) neu berechnet werden.

Alternativ kann man den zweiten Term in Gl. (11) durch Anwendung der Kettenregel für Ableitungen wie folgt ersetzen:

\[\mathbf{C}_{\mathbf{P}}\mathbf{\ }\mathbf{U}_{\mathbf{p}}\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{p}}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\left( \mathbf{C}_{\mathbf{A}}\mathbf{D}_{\mathbf{P}} \right)\mathbf{U}_{\mathbf{p}}\left( \mathbf{C}_{\mathbf{A}}\mathbf{D}_{\mathbf{P}} \right)^{\mathbf{T}}\mathbf{\ =}\mathbf{C}_{\mathbf{A}}\left( \mathbf{D}_{\mathbf{P}}\mathbf{\ }\mathbf{U}_{\mathbf{p}}\mathbf{\ }\mathbf{D}_{\mathbf{p}}^{\mathbf{T}} \right)\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}\mathbf{C}_{\mathbf{A}}\mathbf{\ }\mathbf{U}_{\mathbf{A}}\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\]

Hierin sind: \(\mathbf{C}_{\mathbf{A}}\) Matrix der partiellen Ableitungen von yi nach den Elementen der Matrix A, Dp Matrix der partiellen Ableitungen der Elemente von A nach den Parametern p; UA Kovarianzmatrix der Elemente von A, die Funktionen von p sind. Die Kettenregel partieller Ableitungen hat die Form Cp= CA·Dp, mit der Eigenschaft

\[\mathbf{C}_{\mathbf{p}}^{\mathbf{T}}\mathbf{=}{\mathbf{D}_{\mathbf{p}}^{\mathbf{T}}\mathbf{C}}_{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\]

Speziell der Ausdruck \(\mathbf{C}_{\mathbf{A}}\mathbf{\ }\mathbf{U}_{\mathbf{A}}\mathbf{\ }\mathbf{C}_{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}\) wird im WTLS-Fitverfahren benötigt; er wird in einer Subroutine berechnet, die von den Fitverfahren WLS und WTLS gemeinsam genutzt werden kann. Die Matrix U~A~ wird programmintern so berechnet wie im vorangehenden Unterkapitel beschrieben.

Note on the covariance matrix UA:

Für die lineare Entfaltung mit dem WTLS-Verfahren war in der vorherigen Version ein Test implementiert, der mit der Cholesky-Zerlegung prüft, ob die Eingangs-Kovarianzmatrix positiv definit ist. Dies wurde verbessert, indem vor der Cholesky-Zerlegung die Cauchy-Schwarz-Ungleichung geprüft wird:

\(cov(i,k)^{2} \leq var(i)var(k)\) .

Für Paare (i, k), für die Gleichheit gefunden wird, wird das zugehörige cov(i, k) mit dem Faktor (1-δ) multipliziert mit δ=1·10-09. Sollte die Kovarianzmatrix nach diesen Tests erneut nicht positiv definit sein (sie kann nicht invertiert werden), werden alle Nicht-Diagonalelemente mit diesem Faktor multipliziert. Sollte auch dies nicht helfen, wird die Programmauswertung mit einem Hinweis auf dieses Problem unterbrochen.

Das primäre Ergebnis (d.h. die Fit-Parameter) der linearen Entfaltung nach den Berechnungen der vorangegangenen Gleichungen bedarf einer weiteren Ergänzung, da die Fit-Parameter in weiteren Gleichungen verwendet werden. Das ist der Fall, wenn etwa die bei der Messung erhaltene Aktivität auf Masse/Volumen bezogen und eine weitere Zerfallskorrektion angewendet werden muss, und die damit verknüpften neuen Parameter (Parameter-Vektor q) mit Unsicherheiten behaftet sind (Einbettung der Entfaltung). In diesem Fall kann man in der Regel ohne Matrixalgebra auskommen, da die Ergänzung der Fitparameter \(y_{i}\) meistens mit Hilfe von Faktoren \(\varphi_{i}\ \) erfolgen kann, um die endgültige Ergebnisgröße \(y_{i}^{'}\) zu erhalten:

\[y_{i}^{'} = y_{i}\ \ \varphi_{i}\ \left( q,y_{k} \right)\]

Diese Funktionen werden in einem Vektor

\[\mathbf{y}^{\mathbf{'}} = \left( y_{1}\left( \mathbf{q},\mathbf{y} \right),\ {\ y}_{2}\left( \mathbf{q},\mathbf{y} \right),\ \ldots,\ \ y_{n}\left( \mathbf{q},\mathbf{y} \right), \right)^{T}\]

Die Berechnung der Kovarianzmatrix von \(\mathbf{y}^{\mathbf{'}}\) erfordert nun, in Analogie zu Gl. (11), eine (n x n)-Matrix \(\mathbf{J}\) der partiellen Ableitungen \(J_{i,k} = \partial y_{i}^{'}/\partial y_{k}\) der Funktionen \(y_{i}^{'}\) bezüglich der angepassten Werte \(y_{i}\). Die Berücksichtigung der Unsicherheiten der nq Werte q erfordert die Berechnung der entsprechenden (n x nq)-Matrix \(\mathbf{Q'}\) der partiellen Ableitungen \({Q'}_{i,k} = \partial y_{i}^{'}/\partial q_{k}\).

Unter der Voraussetzung, dass es keine Kovarianzen zwischen y und q gibt, ergibt sich damit in Verallgemeinerung von Gl. (11) als die den gesuchten (endgültigen) Ergebnisgrößen \(\mathbf{y}^{\mathbf{'}}\) zugeordnete Kovarianzmatrix:

\[\mathbf{U}_{\mathbf{y'}}\mathbf{=}\mathbf{J\ }\mathbf{U}_{\mathbf{y}}\mathbf{\ }\mathbf{J}^{\mathbf{T}}\mathbf{+}\mathbf{Q'\ }\mathbf{U}_{\mathbf{q}}\mathbf{\ }\mathbf{Q'}^{\mathbf{T}}\]

wobei die Kovarianzmatrix U~y~ diejenige aus Gl. (11) ist:

\[\mathbf{U}_{\mathbf{y'}}\mathbf{=}\mathbf{J\ }\left\{ \left( \mathbf{A}^{\mathbf{T}}\mathbf{U}_{\mathbf{x}}^{\mathbf{- 1}}\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{\ A} \right)^{- 1}\mathbf{+}\mathbf{Q\ }\mathbf{U}_{\mathbf{p}}\mathbf{\ }\mathbf{Q}^{\mathbf{T}} \right\}\mathbf{\ }\mathbf{J}^{\mathbf{T}}\mathbf{+}\mathbf{Q'\ }\mathbf{U}_{\mathbf{q}}\mathbf{\ }\mathbf{Q'}^{\mathbf{T}}\]

Hinweis: Werden die partiellen Ableitungen \(\partial y_{i}/\partial p_{k}\) in der Matrix Q (Gleichung 11) auf den Vektor \(\mathbf{y}^{\mathbf{'}}\) bezogen, d.h. durch \(\partial{y'}_{i}/\partial p_{k}\) ersetzt, wird der dazugehörige Term \(\mathbf{Q\ }\mathbf{U}_{\mathbf{p}}\mathbf{\ }\mathbf{Q}^{\mathbf{T}}\) aus Gl. (16) entfernt und als dritter Term zu Gl. (15) hinzugefügt.

Weitere Abschnitt 1.6 (Cox et al., 2004).