4.1.2. Erweiterung auf mehrere Ergebnisgrößen

Die obige Gleichung (4.1.5) für \(u^{2}(y)\) kann auch in der folgenden Form geschrieben werden:

(4.1.6)\[u^{2}(y) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{\frac{\partial G}{\partial x_{i}}\frac{\partial G}{\partial x_{j}}u\left( x_{i},x_{j} \right)}}\]

Als Überleitung zur linearen Entfaltung durch Erweiterung auf mehrere Ergebnisgrößen (y hat nun Indizes \(l\) und \(k\)) lässt sich diese Gleichung wie folgt schreiben:

(4.1.7)\[u^{2}\left( y_{l},y_{k} \right) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{\frac{\partial Y_{l}}{\partial x_{i}}\frac{\partial Y_{k}}{\partial x_{j}}u\left( x_{i},x_{j} \right)}}\]

Zu dieser Gleichung gibt es eine äquivalente Darstellung in der Schreibweise der Matrixalgebra, die in UR tatsächlich angewendet wird. Ausgegangen wird von einem n-Vektor \(\mathbf{X}\) und einem m-Vektor Y mit zugeordneten Kovarianzmatrizen \(\mathbf{U}_{\mathbf{x}}\) der Dimension n×n bzw. \(\mathbf{U}_{\mathbf{y}}\) der Dimension m×m. Weiter führt man eine m×n-Matrix \(\mathbf{Q}\) mit Elementen \(Q_{i,k} = \partial Y_{i}/\partial x_{k}\ \), also partiellen Ableitungen, ein:

\(\mathbf{Q =}\left\lbrack \begin{array}{r} \frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\mathbf{\ \ }\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}}\mathbf{\ \ \ \ldots\ }\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{n}} \\ \frac{\partial Y_{2}}{\partial x_{1}}\mathbf{\ \ }\frac{\partial Y_{2}}{\partial x_{2}}\mathbf{\ \ \ \ldots\ }\frac{\partial Y_{2}}{\partial x_{2}} \\ \mathbf{\vdots} \\ \frac{\partial Y_{m}}{\partial x_{1}}\mathbf{\ \ }\frac{\partial Y_{m}}{\partial x_{2}}\mathbf{\ \ \ \ldots\ }\frac{\partial Y_{m}}{\partial x_{n}} \end{array} \right\rbrack\) ,

lässt sich Gl. (4.1.7) wie folgt schreiben:

(4.1.8)\[\mathbf{U}_{\mathbf{y}} = \mathbf{Q\ }\mathbf{U}_{\mathbf{x}}\mathbf{\ }\mathbf{Q}^{\mathbf{T}}\]

Diese Form ist diejenige, die dann bevorzugt angewendet wird, wenn sich die partiellen Ableitungen numerisch bestimmen lassen. Diese Form der Unsicherheitspflanzung lässt sich auch in Excel gut verwenden.

Wir betrachten den einfachen Fall, dass m=1 und n=2 ist. Dies entspricht z.B. dem Fall der linearen Regression mit 1 Gleichung und 2 Unbekannten, wobei \(\mathbf{U}_{\mathbf{x}}\) die Kovarianzmatrix der beiden angepassten Parameter \(x_{1}\) und \(x_{2}\). ist. Die Gleichung dazu ist \(Y_{1} = x_{1} + x_{2}z\) . Dann lautet Gl. (8) ausgeschrieben (eine Unsicherheit von \(z\) müsste zusätzlich in einem weiteren Term berücksichtigt werden):

(4.1.9)\[\begin{split}\mathbf{Q\ }\mathbf{U}_{\mathbf{x}}\mathbf{\ }\mathbf{Q}^{\mathbf{T}} &= \left( \frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\mathbf{,\ \ }\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}} \right) \begin{pmatrix} U_{x,1,1} & U_{x,1,2} \\ U_{x,2,1} & U_{x,2,2} \end{pmatrix}\left( \begin{array}{r} \frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}} \\ \mathbf{\ }\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}} \end{array} \right) \\ &= \left( \frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\mathbf{,\ \ }\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}} \right)\left( \begin{array}{r} U_{x,1,1}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\mathbf{+}U_{x,1,2}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}} \\ \mathbf{\ }U_{x,2,1}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\mathbf{+}U_{x,2,2}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}} \end{array} \right) \\ &= U_{x,1,1}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\mathbf{+}U_{x,1,2}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\mathbf{+}U_{x,2,1}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}}\mathbf{+}U_{x,2,2}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}} \\ &= u^{2}\left( x_{1} \right)\left( \frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}} \right)^{2}\mathbf{+}u\left( x_{1},x_{2} \right)\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\mathbf{+}u\left( x_{2},x_{1} \right)\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{1}}\frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}}\mathbf{+}u^{2}\left( x_{2} \right)\left( \frac{\partial Y_{1}}{\partial x_{2}} \right)^{2}\end{split}\]

Hierin erkennt man die in einzelne Terme zerlegte Gl. (4.1.5) wieder.